Préparer sa kholle : Inégalités, valeur absolue, partie entière
L'exercice qu'il faut savoir faire
- Un calcul de partie entièreEnoncé 
Soit $n\geq 1$ un entier.
- Démontrer que $2n\leq 2\sqrt{n(n+1)}<2n+1$.
- En déduire la valeur de $\left\lfloor \left(\sqrt n+\sqrt{n+1}\right)^2\right\rfloor$.
L'exercice standard
Enoncé
Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$, $|x-1|\leq x^2-x+1$.
L'exercice pour les héros
Enoncé
Soit $x$ un nombre réel.
- Démontrer que $\lfloor x\rfloor+\left\lfloor x+\frac 12\right\rfloor=\lfloor 2x\rfloor$.
- Plus généralement, démontrer que pour tout $n\geq 2$, $$\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac kn\right\rfloor=\lfloor nx\rfloor.$$
Inégalités, valeur absolue, partie entière