Préparer sa kholle : groupes, anneaux, corps

L'exercice qu'il faut savoir faire

Exercice 1

- Exemples de morphismes de groupes - calcul de noyaux et d'images [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Démontrer que les fonctions suivantes sont des morphismes de groupes. Déterminer leur noyau et leur image :

$(\mathbb Z,+)\to(\mathbb R^*,\times),\ n\mapsto (-1)^n$;
$(\mathbb C^*,\times)\to(\mathbb C^*,\times),\ z\mapsto z/|z|$;
$(\mathbb R_+^*,\times)\times (\mathbb R,+)\to (\mathbb C^*,\times), (r,\theta)\mapsto re^{i\theta}.$

Indication

Corrigé

Dans chacun des cas, on notera $\phi$ la fonction donnée.

Soit $n,m\in\mathbb Z$. Alors $$\phi(n+m)=(-1)^{n+m}=(-1)^n(-1)^m=\phi(n)\phi(m).$$ Ainsi, $\phi$ est bien un morphisme de $\mathbb Z$ dans $\mathbb R^*$. Soit $n\in\mathbb Z$. Alors $$n\in\ker(\phi)\iff (-1)^n=1\iff n\textrm{ est pair}\iff \exists k\in\mathbb Z,\ n=2k\iff n\in2\mathbb Z.$$ Ainsi, $\ker(\phi)=2\mathbb Z$. De plus, on a clairement $\textrm{Im}(\phi)=\{-1,1\}.$
Soit $z_1,z_2\in\mathbb C^*$. Alors $$\phi(z_1z_2)=\frac{|z_1z_2|}{z_1z_2}=\frac{|z_1|}{z_1}\times \frac{|z_2|}{z_2}=\phi(z_1)\phi(z_2).$$ Ainsi $\phi$ est un morphisme de $\mathbb C^*$ dans $\mathbb C^*$. De plus, soit $z\in\mathbb C^*$. Alors $$z\in\ker(\phi)\iff \frac{z}{|z|}=1\iff z=|z|\iff z\in\mathbb R_+^*.$$ Ainsi, $\ker(\phi)=\mathbb R_+^*$. Enfin, on a $\textrm{Im}(\phi)=\mathbb U=\{z\in\mathbb C:\ |z|=1\}$. Il est d'abord clair que $\textrm{Im}(\phi)\subset\mathbb U$ puisque $$\left|\frac{z}{|z|}\right|=\frac{|z|}{|z|}=1.$$ D'autre part, si $z\in\mathbb U$, alors $\phi(z)=z$ et donc $z\in\textrm{Im}(\phi)$, ce qui démontre l'autre inclusion.
Il faut faire un peu plus attention pour cet exemple, car on part d'un groupe produit et de plus, pour un des éléments du produit, la loi est notée multiplicativement, et pour l'autre, la loi est notée additivement. Soit $(r_1,\theta_1)$ et $(r_2,\theta_2)$ dans $\mathbb R_+^*\times\mathbb R$. Alors $$\phi\big( (r_1,\theta_1)\cdot (r_2,\theta_2)\big)= \phi(r_1r_2,\theta_1+\theta_2)=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}=r_1e^{i\theta_1}r_2e^{i\theta_2}=\phi(r_1,\theta_1)\cdot \phi(r_2,\theta_2).$$ $\phi$ est donc bien un morphisme de groupes. De plus, soit $(r,\theta)\in\mathbb R_+^*\times \mathbb R$. Alors $$\phi(r,\theta)=1\iff re^{i\theta}=1\iff r=1\textrm{ et }\theta=k2\pi,\ k\in\mathbb Z.$$ On a donc $\ker(\phi)=\{1\}\times (2\pi\mathbb Z)$. Enfin, de l'écriture exponentielle d'un nombre complexe, on tire que $\phi$ est surjective, c'est-à-dire que $\textrm{Im}(\phi)=\mathbb C^*$.

L'exercice standard

Exercice 2

- Un anneau d'entiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On considère $\mathbb Z[\sqrt 2]=\{a+b\sqrt 2;\ a,b\in\mathbb Z\}$.

Montrer que $(\mathbb Z[\sqrt 2],+,\times)$ est un anneau.
On note $N(a+b\sqrt{2})=a^2-2b^2$. Montrer que, pour tous $x,y$ de $\mathbb Z[\sqrt 2]$, on a $N(xy)=N(x)N(y)$.
En déduire que les éléments inversibles de $\mathbb Z[\sqrt 2]$ sont ceux s'écrivant $a+b\sqrt 2$ avec $a^2-2b^2=\pm 1$.

Indication

Corrigé

L'exercice pour les héros

Exercice 3

- Groupes divisibles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Un groupe $(G,\cdot)$ est dit divisible si, pour tout $g\in G$ et tout $n\in\mathbb N^*$, il existe $u\in G$ tel que $u^n=g$.

Le groupe $(\mathbb Q,+)$ est-il divisible?
Montrer que $(\mathbb Q,+)$ et $(\mathbb Q_+^*,\cdot)$ ne sont pas isomorphes.

Indication

Corrigé

Groupes, anneaux, corps

Quizz