Préparer sa kholle : espaces vectoriels

1. Soit $f,g\in F$. Alors $(f+g)(0)=f(0)+g(0)=0+0=0$ et $(f+g)(1)=f(1)+g(1)=0+0=0$. Ainsi, $f+g\in F$. De même, pour tout $\lambda\in\mathbb R$, $\lambda f\in F$ et donc $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$. De la même façon, on prouve que $G$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$.
2. Soit $f\in F\cap G$. Alors il existe $a,b\in\mathbb R$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x)=ax+b$. Puisque $f(0)=0$, on a $b=0$. Puisque $f(1)=0$, on a $a\times 1=a=0$. Ainsi, $f=0$ et on a bien $F\cap G=\{0\}$ : $F$ et $G$ sont en somme directe.
3. On a $f(0)=h(0)-b=0$, et donc $b=h(0)$. On a $f(1)=h(1)-(a+b)=h(1)-h(0)-a$, et donc $f(1)=0$ dès que $a=h(1)-h(0)$.
4. Soit $h\in\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$. Posons $a=h(1)-h(0)$, $b=h(0)$ et posons $f(x)=h(x)-(ax+b)$. Alors, d'après la question précédente, $f\in F$. De plus, on peut écrire pour tout $x\in\mathbb R$, $$h(x)=f(x)+(ax+b)$$ avec $f\in F$ et $x\mapsto ax+b\in G$. On en déduit que $h\in F+G$ et donc que $F+G=\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$. Tenant compte de $F\cap G=\{0\}$, on conclut que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$.

Supposons qu'il existe $n$ scalaires $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ tels que $$\lambda_1w_1+\dots +\lambda_nw_n=0.$$ Ceci se réécrit en $$\sum_{k=1}^{n-1}\lambda_k(v_k+v_{k+1})+\lambda_n (v_n+v_1)=0$$ soit encore, en regroupant les termes différemment, $$(\lambda_1+\lambda_n)v_1+\sum_{k=2}^n(\lambda_k+\lambda_{k-1})v_k=0.$$ Puisque le système $(v_1,\dots,v_n)$ est linéairement indépendant, on en déduit le système : $$\left\{ \begin{array}{rcl} \lambda_n&=&-\lambda_1\\ \lambda_k&=&-\lambda_{k-1}\textrm{ pour }2\leq k\leq n. \end{array} \right.$$ La deuxième égalité donne facilement par récurrence, pour $2\leq k\leq n$, $\lambda_k=(-1)^{k-1}\lambda_1$. En particulier, on a $\lambda_n=(-1)^{n-1}\lambda_1$. On discute maintenant suivant la parité de $n$ :

1. Si $n$ est impair, alors on a à la fois $\lambda_n=\lambda_1$ et $\lambda_n=-\lambda_1$. Ceci impose $\lambda_1=0$, et par suite $\lambda_k=0$ pour tout $k$. Le système est libre.
2. Si $n$ est pair, la dernière équation est $\lambda_n=-\lambda_1$, qui est la même que la première. Elle se simplifie donc. Pour $\lambda_k=(-1)^k$, on a alors $\lambda_1w_1+\dots+\lambda_nw_n=0$. Le système est lié.