Préparer sa kholle : probabilités sur un univers fini

L'exercice qu'il faut savoir faire

Exercice 1

- Tombola [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Dans une tombola, 1000 billets sont mis en vente, et deux billets sont gagnants. Combien faut-il acheter de billets pour avoir une probabilité supérieure à 1/2 d'avoir au moins un billet gagnant?

Indication

Corrigé

L'exercice standard

Exercice 2

- Pièces défectueuses [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Une usine fabrique des pièces, avec une proportion de 0,05 de pièces défectueuses. Le contrôle des fabrications est tel que :

si la pièce est bonne, elle est acceptée avec la probabilité 0,96.
si la pièce est mauvaise, elle est refusée avec la probabilité 0,98.

On choisit une pièce au hasard et on la contrôle. Quelle est la probabilité

qu'il y ait une erreur de contrôle?
qu'une pièce acceptée soit mauvaise?

Indication

Corrigé

L'exercice pour les héros

Exercice 3

- Sauts de puce [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Une particule se trouve à l'instant 0 au point d'abscisse $a$ ($a$ entier), sur un segment gradué de $0$ à $N$ (on suppose donc $0\leq a\leq N$). A chaque instant, elle fait un bond de $+1$ avec la probabilité $p$ ($0<p<1/2$), ou un bond de $-1$ avec la probabilité $q=1-p$. Autrement dit, si $x_n$ est l'abscisse de la particule à l'instant $n$, on a : $$x_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll} x_n+1&\textrm{avec probabilité $p$}\\ x_n-1&\textrm{avec probabilité $1-p$.} \end{array}\right.$$ Le processus se termine lorsque la particule atteint une des extrémités du segment (i.e. s'il existe $x_n$ avec $x_n=0$ ou $x_n=N$).

Écrire une fonction python $\verb+puce(a,N,p)+$ qui simule cette marche aléatoire et qui retourne l'endroit où la puce sort du segment ($0$ ou $N$) et le nombre de pas nécessaires pour que le processus s'arrête.
On note $u_a$ la probabilité pour que la particule partant de $a$, le processus s'arrête en $0$.
1. Que vaut $u_0$? $u_N$?
2. Montrer que si $0<a<N$, alors $u_a={pu_{a+1}}+qu_{a-1}$.
3. En déduire l'expression exacte de $u_a$.
On note $v_a$ la probabilité pour que la particule partant de $a$, le processus s'arrête en $N$. Reprendre les questions précédentes avec $v_a$ au lieu de $u_a$.
Calculer $u_a+v_a$. Qu'en déduisez-vous?

Indication

Corrigé

Voici un exemple de fonction.

import random

def puce(a,N,p):
    pas=0
    position=a
    while ( (position>0) and (position<N) ):
        if (random.random()<p):
            position=position+1
        else:
            position=position-1
        pas=pas+1
    return (position,pas)
1. Par définition, on a $u_0=1$ (le processus commence en $0$, il s'arrête immédiatement, en 0), et $u_N=0$ (le processus commence en $N$, il s'arrête aussitôt, en $N$).
2. On note $A$ l'événement : "Partant de $a$, le processus s'arrête en 0", $B$ l'événement : "Partant de $a$ à l'instant 0, à l'instant 1, la particule est en $a+1$", et $C$ l'événement : "Partant de $a$ à l'instant 0, à l'instant 1, la particule est en $a-1$", de sorte que $C=\bar B$. Par la formule des probabilités totales : $$P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C).$$ Maintenant, puisqu'on part à l'instant $t=0$ de $a$, on a $P(B)=p$ et $P(C)=q$. D'autre part, si la particule est à l'instant 1 en $a+1$, la probabilité que le processus s'arrête en 0 vaut $u_{a+1}$. On a donc : $P(A|B)=u_{a+1}$, et de même $P(A|C)=u_{a-1}$. On en déduit la formule de récurrence : $$u_a=pu_{a+1}+qu_{a-1}.$$
3. Pour $a$ allant de $1$ à $N-1$, la suite $(u_a)$ vérifie la formule de récurrence : $$u_{a+1}=\frac{1}{p}u_a-\frac{q}{p}u_{a-1}.$$ L'équation caractéristique de cette récurrence est : $$r^2-\frac{1}{p}r+\frac{q}{p}=0.$$ Cette équation du second degré admet deux solutions distinctes, $$r_1=1\textrm{ et }r_2=\frac{q}{p}$$ (remarquer ici l'utilisation de l'hypothèse $p\neq 1/2$ qui permet d'affirmer que les deux racines sont distinctes). Il existe donc des réels $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout $a$ dans $\{0,\dots,N\}$, on ait : $$u_a=\lambda+\mu\left(\frac{q}{p}\right)^a.$$ Utilisant que $u_0=1$ et $u_N=0$, on obtient : $$u_a=\frac{q^N}{q^N-p^N}+\frac{p^N}{p^N-q^N}\left(\frac{q}{p}\right)^a.$$
Le même raisonnement prouve que : $$v_a=pv_{a+1}+qv_{a-1}.$$ La résolution de cette récurrence donne : $$v_a=\frac{p^N}{p^N-q^N}+\frac{p^N}{q^N-p^N}\left(\frac{q}{p}\right)^a.$$
On vérifie aisément que $u_a+v_a=1$. Ceci signifie que, presque sûrement, le processus va s'arrêter.

Probabilités sur un univers fini