$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : Équations différentielles linéaires

L'exercice qu'il faut savoir faire
Exercice 1 - Avec une condition initiale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $y'+\tan(t)y=\sin(2t)$, $y(0)=1$ sur $]-\pi/2,\pi/2[$;
  2. $(x+1)y'+xy=x^2-x+1$, $y(1)=1$ sur $]-1,+\infty[$ (on pourra rechercher une solution particulière sous la forme d'un polynôme).
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Exercice 2 - Avec une condition initiale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour les équations différentielles suivantes, déterminer l'unique fonction solution :
  1. $y''+2y'+4y=xe^x$, avec $y(0)=1$ et $y(1)=0$.
  2. $y''-2y'+(1+m^2)y=(1+4m^2)\cos (mx)$ avec $y(0)=1$ et $y'(0)=0$; on discutera suivant que $m=0$ ou $m\neq 0$.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Presque qu'une équation différentielle... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On cherche à déterminer les fonctions $f:]0,+\infty[\to\mathbb R$ dérivables telles que, pour tout $t>0$, $$f'(t)=i f\left(\frac 1t\right).$$
  1. Démontrer qu'une telle fonction est deux fois dérivable, puis que $f$ est solution de l'équation différentielle $$t^2y''-y=0\quad\quad(E).$$
  2. Soit $y$ une solution de $(E)$. On pose, pour $x\in\mathbb R$, $z(x)=y(e^x)$. Démontrer que $z$ est solution d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. Résoudre cette équation.
  3. Répondre au problème posé.
Indication
Corrigé
Équations différentielles linéaires