Préparer sa kholle - Ensembles, applications, relations

Il suffit de vérifier que la définition d'une relation d'équivalence est satisfaite. Considérons trois parties $A$, $B$ et $C$ de $E$. Tout d'abord, on a bien $A\mathcal R A$ : en effet, on a $A=A$. D'autre part, si $A\mathcal R B$, alors on distingue deux cas. Ou bien $A=B$, et dans ce cas $B=A$ et $B\mathcal R A$. Ou bien $A=\bar B$, mais dans ce cas, $B=\bar A$, et on a encore $B\mathcal R A$. Enfin, si $A\mathcal R B$ et $B\mathcal R C$, on peut distinguer quatre cas :

1. Si $A=B$ et $B=C$, alors $A=C$.
2. Si $A=B$ et $B=\bar C$, alors $A=\bar C$.
3. Si $A=\bar B$ et $B=C$, alors $A=\bar C$.
4. Si $A=\bar B$ et $B=\bar C$, alors $A=C$.

Dans tous les cas, on a bien $A\mathcal R C$. La relation $\mathcal R$ est symétrique, réflexive et transitive. Il s'agit bien d'une relation d'équivalence.

Traitons d'abord la première équation. Puisque $A\subset A\cup X$, une telle équation ne peut avoir une solution que si $A\subset B$. Supposons donc cette condition remplie, et déterminons toutes les solutions. Supposons d'abord que $X$ est une solution. Puisque $X\subset A\cup X$, on a nécessairement $X\subset B$. De plus, $X$ doit nécessairement contenir tous les éléments de $B$ qui ne sont pas dans $A$. Autrement dit, on a $B\backslash A\subset X\subset B$. Réciproquement, soit $X$ une partie de $\mathcal P(E)$ telle que $B\backslash A\subset X\subset B$. Alors $A\cup X\subset B\cup B=B$. De plus, $$B=A\cup (B\backslash A)\subset A\cup X,$$ et donc $A\cup X=B$. Donc toutes les solutions sont les parties $X$ telles que $B\backslash A\subset X\subset B$.
La deuxième équation se traite de façon similaire. Elle peut aussi se ramener à la première équation en prenant le complémentaire. On trouve qu'il existe des solutions si et seulement si $B\subset A$ et que, dans ce cas, toutes les solutions sont les parties $X$ telles que $B\subset X\subset (B\cup \bar A)$.