Préparer sa kholle : Développements limités

On commence par l'étude au voisinage de $+\infty$. On met $x^2$ en facteur sous les racines pour se ramener à effectuer un développement limité en 0 : $$\sqrt{x^2+1}=x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=x\left(1+\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{x^2}\veps(1/x)\right).$$ De même, $$\sqrt{x^2-1}=x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}=x\left(1-\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{x^2}\veps(1/x)\right).$$ On en déduit : $$f(x)=2x+\frac{1}{x}\veps(1/x).$$ La courbe d'équation $y=2x$ est donc asymptote à la courbe au voisinage de $=+\infty$. Pour obtenir la position relative de la courbe par rapport à l'asymptote, il faut pousser le développement limité un peu plus loin...jusqu'à obtenir le premier terme non nul! $$\sqrt{x^2+1}=x\left(1+\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{8x^4}+\frac{1}{x^4}\veps(1/x)\right),$$ $$\sqrt{x^2-1}=x\left(1-\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{8x^4}+\frac{1}{x^4}\veps(1/x)\right),$$ ce qui donne : $$f(x)=2x-\frac{1}{4x^3}+\frac{1}{x^3}\veps(1/x).$$ Au voisinage de $+\infty$, $\dis -\frac{1}{4x^3}+\frac{1}{x^3}\veps(1/x)$ est négatif : la courbe est sous l'asymptote. L'étude au voisinage de $-\infty$ peut se faire en remarquant que la fonction étudiée est paire. On en déduit alors que la droite d'équation $y=-2x$ est asymptote à la courbe au voisinage de $-\infty$, et que la courbe est située au-dessous de son asymptote.

On écrit : $$\frac{1}{1+bx^2}=1-bx^2+b^2x^4-b^3x^6+o(x^6)$$ ce qui donne, par produit $$\frac{1+ax^2}{1+bx^2}=1+(a-b)x^2+(b^2-ab)x^4+(-b^3+ab^2)x^6+o(x^6).$$ Finalement, le développement limité de la fonction est donné par $$\cos x-\frac{1+ax^2}{1+bx^2}=\left(-a+b-\frac12\right)x^2+\left(-b^2+ab+\frac1{24}\right)x^4+\left(+b^3-ab^2-\frac{1}{720}\right)x^6+o(x^6).$$ Le terme d'ordre 2 disparait si et seulement si $b-a=1/2$. Ensuite, celui d'ordre 4 disparait si et seulement si $$-b(b-a)=-\frac{1}{24}.$$ Donc les termes d'ordre 2 et d'ordre 4 disparaissent si et seulement si $b=1/12$ et $a=-5/12$. Dans ce cas, la partie principale est de valuation 6 : $$\cos x-\frac{1+ax^2}{1+bx^2}=\frac{1}{480}x^6+o(x^6).$$