$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : espaces vectoriels de dimension finie

L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Soient $F, G$ les sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^4$ suivants :
$ F=\{ (x,y,z,t)\in \mathbb R^4 \ \vert \ x+y+z=0 \text{ et } 2x+y+z-t=0 \} $,
$ G = \textrm{vect}\{ (1,-2,1,1),(1,2,-3,1),(5,-3,-2,5)\}\subset \mathbb R^4 $.
  1. Calculer la dimension de $F$.
  2. Montrer que $G\subset F$ et conclure que $G=F$.
  3. Déterminer un supplémentaire de $F$.
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Enoncé
On considère dans $\mathbb R^4$ : $$\begin{array}{llll} v_1=(1,2,0,1)&v_2=(1,0,2,1)&v_3=(2,0,4,2)\\ w_1=(1,2,1,0)&w_2=(-1,1,1,1)&w_3=(2,-1,0,1)&w_4=(2,2,2,2). \end{array}$$
  1. Montrer que $(v_1,v_2)$ est libre et que $(v_1,v_2,v_3)$ est liée.
  2. Montrer que $(w_1,w_2,w_3)$ est libre et que $(w_1,w_2,w_3,w_4)$ est liée.
  3. Montrer que $(v_1,v_2,w_1,w_2)$ est libre.
  4. Soit $F$ le sous-espace vectoriel de $\mathbb R^4$ engendré par $(v_1,v_2,v_3)$.
    1. Déterminer une base de $F$.
    2. Donner un supplémentaire de $F$.
  5. Soit $G$ le sous-espace vectoriel engendré par $(w_1,w_2,w_3,w_4)$. Déterminer une base de $G$.
    1. A l'aide des bases trouvées en 4. et 5. construire un système générateur de $F+G$.
    2. En déduire que $F+G=\mathbb R^4$.
    1. Montrer que $v_1+v_2$ est dans $F\cap G$.
    2. Calculer la dimension de $F\cap G$.
    3. Donner une base de $F\cap G$.
  6. $F$ et $G$ sont-ils supplémentaires?
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$, et $F$, $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ de même dimension $p<n$. Montrer que $F$ et $G$ ont un supplémentaire commun, c'est-à-dire qu'il existe un sous-espace $H$ de $E$ tel que $F\oplus H=G\oplus H=E$.
Indication
Corrigé
Espaces vectoriels de dimension finie