Préparer sa kholle : groupe symétrique et déterminants

L'application linéaire associée à $M_\alpha$ est bijective si et seulement si la matrice $M_\alpha$ est inversible, si et seulement si le déterminant de $M_\alpha$ est non-nul. On calcule donc ce déterminant. En ajoutant $L_3$ à $L_1$ et $2L_3$ à $L_2$, on trouve : $$\det(M_\alpha)= \left|\begin{array}{ccc} 0&4&\alpha\\ 0&1&1\\ -1&1&0 \end{array}\right|= -1\left| \begin{array}{cc} 4&\alpha\\ 1&1 \end{array}\right|=\alpha-4.$$ L'application linéaire associée à $M_\alpha$ est donc bijective si et seulement si $\alpha\neq 4$.

Notons $\Delta_n$ ce déterminant. On va prouver par récurrence sur $n$ que $\Delta_n=1+x_1y_1+\dots+x_ny_n$. La formule est vraie au rang $1$, supposons-la vraie au rang $n-1$ et prouvons-la au rang $n$. Par multilinéarité du déterminant, on a : $$\Delta_n=\left| \begin{array}{cccc} 1+x_1y_1&x_1y_2&\dots&0\\ x_2y_1&1+x_2y_2&\dots&0\\ \vdots&\dots&\ddots&\vdots\\ x_ny_1&\dots&\dots&1 \end{array}\right|+ \left| \begin{array}{cccc} 1+x_1y_1&x_1y_2&\dots&x_1y_n\\ x_2y_1&1+x_2y_2&\dots&x_2y_n\\ \vdots&\dots&\ddots&\vdots\\ x_ny_1&\dots&\dots&x_ny_n. \end{array}\right|.$$ En développant suivant la dernière colonne, on trouve que le premier déterminant vaut $\Delta_{n-1}$. Pour le second, on peut factoriser par $x_n$ dans la dernière ligne et par $y_n$ dans la dernière colonne. On trouve que : $$\Delta_n=\Delta_{n-1}+x_ny_n\left| \begin{array}{cccc} 1+x_1y_1&x_1y_2&\dots&x_1\\ x_2y_1&1+x_2y_2&\dots&x_2\\ \vdots&\dots&\ddots&\vdots\\ y_1&\dots&y_{n-1}&1 \end{array}\right|.$$ On effectue alors $C_1-y_1C_n \to C_1$, $C_2-y_2C_n\to C_2,\dots$, et on trouve $$\Delta_n=\Delta_{n-1}+x_ny_n \left| \begin{array}{cccc} 1&0&\dots&x_1\\ 0&1&\dots&x_2\\ \vdots&\dots&\ddots&\vdots\\ 0&\dots&\dots&1 \end{array}\right|=\Delta_{n-1}+x_ny_n. $$ Ceci achève la preuve de l'hypothèse de récurrence, et donc du résultat.