$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle - Dérivabilité

L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Déterminer $a,b\in\mathbb R$ de sorte que la fonction $f$ définie sur $\mathbb R_+$ par $$f(x)=\sqrt x\textrm{ si }0\leq x\leq 1\textrm{ et }f(x)=ax^2+bx+1\textrm{ si }x>1$$ soit dérivable en $1$.
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Enoncé
Déterminer la dérivée d'ordre $n$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=(x-a)^n (x-b)^n$ ($a,b$ sont des réels). En étudiant le cas $a=b$, trouver la valeur de $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2$.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Enoncé
On appelle polynômes de Legendre les polynômes $P_n(X)=\left((X^2-1)^n\right)^{(n)}$.
  1. Calculer le degré de $P_n$ et son coefficient dominant.
  2. Pour $0\leq p\leq n$, on pose $Q_p(X)=\left((X^2-1)^n\right)^{(p)}$. Quel est le degré de $Q_p$? Démontrer que $Q_p$ admet deux racines d'ordre $n-p$, et $p$ racines d'ordre 1.
  3. En déduire que $P_n$ s'annule exactement en $n$ points deux à deux distincts de $]-1,1[$.
Indication
Corrigé