Préparer sa kholle : fonctions convexes
L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé 
- Montrer que $f(x)=\ln(\ln (x))$ est concave sur $]1,+\infty[$.
- En déduire que $\forall a,b>1,\ \ln\left(\frac{a+b}{2}\right)\geq \sqrt{\ln a.\ln b}$.
L'exercice standard
Enoncé
Soit $f$ de classe $C^1$ sur $\mtr$ et convexe. Démontrer que si $f$ est majorée, alors $f$ est constante.
L'exercice pour les héros
Exercice 3 
- Fonctions logarithmiquement convexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
- Fonctions logarithmiquement convexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé
Dans tout l'exercice, $I$ et $J$ désignent des intervalles.
- Soit $f:I\to \mathbb R$ une fonction convexe croissante et soit $g:J\to I$ une fonction convexe. Démontrer que $f\circ g$ est convexe.
- Soit $f: I\to ]0,+\infty[$. On dit que $f$ est logarithmiquement convexe si $\ln f$ est convexe. Démontrer que si $f$ est logarithmiquement convexe, alors $f$ est convexe. La réciproque est-elle vraie?
- On suppose que pout tout $\alpha>0,$ $f^\alpha$ est convexe.
- Pour $t\in [0,1]$, $x,y\in I$ et $\alpha\geq 0,$ on pose $u(\alpha)=\exp\big(\alpha \ln f(tx+(1-t)y)\big)$ et $v(\alpha)=t\exp\big(\alpha \ln f(x)\big)+(1-t)\exp\big(\alpha \ln f(y)\big)$. Justifier que $u'(0)\leq v'(0)$.
- En déduire que $f$ est logarithmiquement convexe.