Préparer sa kholle : Nombres complexes
L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé 
Résoudre les équations du second degré suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\mathbf{1.}\ z^2-2iz-1+2i=0&&\mathbf{2.}\ iz^2+(4i-3)z+i-5=0\\
\mathbf{3.}\ z^2-(7+i)z+12+3i=0.
\end{array}$$
L'exercice standard
Enoncé
- Déterminer, sous forme algébrique, les racines carrées du nombre complexe $3-4i$.
- Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $w^2-iw-1+i=0$.
- Rappeler quelles sont les racines cubiques (ou racines 3-ièmes) de $1$.
- Écrire $-1+i$ sous forme exponentielle.
- Résoudre l'équation $z^3=-1+i$ (donner les solutions sous forme exponentielle).
- En déduire les solutions de l'équation $z^6-iz^3-1+i=0$.
L'exercice pour les héros
Exercice 3 
- Somme et puissances de racines $n$-iemes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
- Somme et puissances de racines $n$-iemes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $\omega=e^{2i\pi/n}$.
- Calculer le produit des racines $n$-ièmes de l'unité.
- Soit $p\geq 0$. Calculer $\sum_{k=0}^{n-1}\omega^{kp}$.
- En déduire que $\sum_{k=0}^{n-1}(1+\omega^k)^n =2n$.