Préparer sa kholle : Calcul algebrique
L'exercice qu'il faut savoir faire
- Calcul de sommes par découpageEnoncé 
Soit $n\in\mathbb N$.
- Calculer $A_n=\sum_{k=2n+1}^{3n}(2n)$.
- Calculer $B_n=\sum_{k=n}^{2n}k$.
- En déduire la valeur de $S_n=\sum_{k=n}^{3n}\min(k,2n)$.
L'exercice standard
Enoncé
Pour $n\geq 1$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k$ et $u_n=\sum_{k=1}^n S_k$. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $u_n=(n+1)S_n-n$.
L'exercice pour les héros
Enoncé
- Soient $m,k$ deux entiers naturels. Justifier que $$\binom{m+k}{m}=\binom{m+k+1}{m+1}-\binom{m+k}{m+1}.$$
- En déduire, pour tous entiers naturels $m,n\in\mathbb N^*$, la valeur de $$S=\sum_{k=0}^n \binom{m+k}{m}.$$
- En déduire celle de $$P=\sum_{k=0}^n \left(\prod_{p=1}^m(k+p)\right).$$