$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : séries numériques

Démontrer qu'une série à termes positifs converge
  Pour démontrer qu'une série $\sum_n u_n$ converge, où la suite $(u_n)$ est une suite de réels positifs, on peut
  • trouver une suite $(v_n)$ dont la convergence de la série $\sum_n v_n$ est connue (par exemple, $v_n=\frac1{n^{\alpha}}$ avec $\alpha>1$ ou $v_n=a^n$ avec $0<a<1$) telle que $u_n\sim_{+\infty}v_n$. Pour obtenir un tel équivalent, on pourra notamment utiliser des développements limités (voir cet exercice).
  • trouver une suite $(v_n)$ dont la convergence de la série $\sum_n v_n$ est connue telle que $0\leq u_n\leq v_n$ (voir cet exercice ou cet exercice).
  • démontrer que les sommes partielles sont majorées (voir cet exercice).
Démontrer qu'une série à termes positifs diverge
  Pour démontrer qu'une série $\sum_n u_n$ diverge, où la suite $(u_n)$ est une suite de réels positifs, on peut
  • trouver une suite $(v_n)$ dont la divergence de la série $\sum_n v_n$ est connue (par exemple, $v_n=\frac1{n^{\alpha}}$ avec $\alpha\leq 1$ ou $v_n=a^n$ avec $a\geq 1$) telle que $u_n\sim_{+\infty}v_n$. Pour obtenir un tel équivalent, on pourra notamment utiliser des développements limités (voir cet exercice).
  • trouver une suite $(v_n)$ dont la divergence de la série $\sum_n v_n$ est connue telle que $0\leq v_n\leq u_n$.
  • démontrer que le terme général ne tend pas vers 0.
Démontrer qu'une série à terme quelconque converge ou diverge
  Pour étudier la nature d'une série $\sum_n u_n$ où la suite $(u_n)$ n'est pas forcément de signe constant, on peut
  • étudier la convergence absolue (voir cet exercice). Attention, la convergence absolue n'est qu'une condition suffisante de convergence.
  • démontrer que le terme général ne tend pas vers 0 (attention, ceci n'est qu'une condition suffisante de divergence).
Encadrer des sommes finies ou infinies
  
  • Pour encadrer des sommes finies ou infinies du type $\sum_n f(n)$, dans le cas où $f$ est monotone, on peut utiliser un encadrement de $f(n)$ par $\int_n^{n+1}f(t)dt$ et $\int_{n-1}^n f(t)dt$, sommer les intégrales par la relation de Chasles, et calculer l'intégrale correspondante (voir cet exercice ou cet exercice).
  • Pour majorer un reste $\sum_{n\geq p}u_n$, lorsque $u_n\geq 0$, on peut trouver une suite $(v_n)$ de sorte que $u_n\leq v_n$ et on sait majorer le reste $\sum_{n\geq p}v_n$ (voir cet exercice).
Calculer la somme d'une série
  Pour calculer la somme d'une série $\sum_n u_n$,
  • écrire la suite $(u_n)$ sous une forme "télescopique", $u_n=v_n-v_{n-1}$, les termes en $(v_n)$ se simplifient alors (voir cet exercice).
  • utiliser la somme d'une série connue, et s'y ramener par des combinaisons linéaires, des changements d'indices… (voir cet exercice).
  • pour calculer des sommes proches des sommes géométriques $\sum_k x^k$, par exemple $\sum_k kx^k$ ou $\sum_k\frac{1}{k+1}x^k$, on peut se ramener à une somme finie, utiliser la somme de la suite géométrique, et dériver, intégrer, multiplier par $x$… (voir cet exercice).
Étudier une suite à l'aide des séries
  Pour étudier la convergence de la suite $(u_n)$, on peut étudier la convergence de la série $\sum_n (u_{n+1}-u_n)$.