Méthodes : limites et continuité
Pour démontrer qu'une fonction $f$ n'admet pas de limite en $a$, on peut :
- démontrer que les limites à gauche et à droite sont différentes (voir cet exercice);
- trouver deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ qui convergent toutes les deux vers $a$ et telles que $(f(u_n))$ et $(f(v_n))$ admettent des limites différentes (voir cet exercice);
- si $f$ est définie en $a$, trouver une suite $(u_n)$ qui tend vers $a$ tel que $(f(u_n))$ ne converge pas vers $f(a)$.
Pour démontrer qu'une fonction définie sur $I\backslash\{a\}$ peut se prolonger par continuité en $a$, on démontre que $\lim_{x\to a}f(x)$ existe. On prolonge alors $f$ par continuité en posant $f(a)=\lim_a f.$ (voir cet exercice).
Pour démontrer qu'on ne peut pas prolonger une fonction $f$ en un point $a,$ on peut trouver deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ qui tendent vers $a$ telles que $(f(u_n))$ et $(f(v_n))$ admettent des limites différentes (voir cet exercice). On peut aussi prouver que les limites à droite et à gauche de $f$ en $a$ ne coïncident pas (voir cet exercice).
Pour démontrer que $f$ réalise une bijection de $]a,b[$ sur $]c,d[$, on peut successivement
- vérifier que $f$ est continue
- vérifier que $f$ est strictement croissante ou strictement décroissante
- étudier les limites aux bornes de $f$, par exemple prouver que $\lim_{x\to a}f(x)=c$ et $\lim_{x\to b}f(x)=d$
Pour démontrer l'existence d'une solution à l'équation $f(x)=a,$
- on peut vérifier que $f$ est continue, trouver $x_1$ et $x_2$ tels que $f(x_1)<a$ et $f(x_2)>a$. Le théorème des valeurs intermédiaires implique alors qu'il existe $x_0\in [x_1,x_2]$ tel que $f(x_0)=a$.
- si de plus $f$ est strictement monotone, alors la solution est unique.
Pour déterminer le nombre de solutions de l'équations $f(x)=a$
- on étudie la fonction $f$ pour décomposer son domaine de définitions en une réunions d'intervalles $I_1,\dots,I_p$ tels que $f$ est continue et strictement monotone sur $I$; on étudie aussi les limites aux bornes de $f$ sur chacun de ces intervalles;
- on compte le nombre d'intervalles $I_1,\dots,I_p$ tels que $a\in f(I_j)$; il faut faire attention au cas où $a$ est la valeur prise par $f$ à l'une des bornes d'un des intervalles $I_j$
Pour démontrer l'existence d'une solution à l'équation $f(x)=g(x),$ ou pour déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=g(x),$ on peut appliquer une des méthodes précédentes à la fonction $h(x)=f(x)-g(x)$ (voir cet exercice):
Pour démontrer que $f$ admet (au moins) un point fixe, on applique les techniques précédentes, et notamment l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires, à la fonction $g(x)=f(x)-x$ (voir cet exercice):
Pour résoudre une équation fonctionnelle (c'est-à-dire une équation dont l'inconnue est une fonction) dans l'ensemble des fonctions continues, on procède par analyse/synthèse. On commence par considérer une fonction $f$ vérifiant les propriétés requises, et on trouve des conditions nécessaires vérifiées par $f$. On peut par exemple :
- trouver la valeur de $f(x)$ lorsque $x$ est un rationnel. Dans ce cas, on détermine la valeur de $f(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$ par continuité de $f$ et par densité de $\mathbb Q$ dans $\mathbb R$ (voir cet exercice);
- exprimer $f(x)$ en fonction d'une quantité $a_n$ et de $f(x_n)$, où $(a_n)$ et $(x_n)$ sont deux suites convergentes. On détermine alors la valeur de $f(x)$ en passant à la limite et en utilisant la continuité de $f$ (voir cet exercice).
Une fois que l'on a déterminé la forme de $f$, il faut encore vérifier que toutes les fonctions $f$ qui sont définies ainsi conviennent.
Pour démontrer qu'une fonction est bornée sur $\mathbb R$, ou plus généralement sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert, on peut
- vérifier que $f$ est continue
- démontrer que $f$ admet des limites finies en $+\infty$ et en $-\infty$
- en déduire, par la définition d'une limite finie, qu'il existe $M>0$ et $A>0$ tel que, si $|x|\geq A,$ on a $|f(x)|\leq M$
- conclure en utilisant le fait que $f$, qui est continue, est aussi bornée sur le segment $[-A,A]$