Méthodes : inégalités dans $\mathbb R$ et fonctions usuelles
Equations et inéquations avec des valeurs absolues
- pour résoudre une équation du type $|f(x)|=|g(x)|$, on commence par étudier le signe de $f$ et de $g$. On résout ensuite l'équation sur des intervalles où $f$ et $g$ gardent un signe constant.
- pour résoudre une équation du type $|f(x)|\leq |g(x)|$, on commence par étudier le signe de $f$ et de $g$. On résout ensuite l'inéquation sur des intervalles où $f$ et $g$ gardent un signe constant. (voir cet exercice)
Déterminer le nombre de solutions d'une équation $f(x)=\ell$
Pour déterminer le nombre de solutions d'une équation $f(x)=\ell$ où $f$ est une fonction continue,
on étudie la fonction $f$ de sorte de partager $\mathbb R$ en intervalles où la fonction est strictement monotone,
et on résout l'équation sur chaque intervalle. Sur chaque intervalle $I=[a,b]$ où $f$ est strictement monotone, l'équation peut avoir
au plus une solution. Elle a exactement une solution si $\ell \in [f(a),f(b)]$. (voir cet exercice)
Démontrer une inégalité du type $f(x)\leq g(x)$
Pour démontrer une inégalité du type $f(x)\leq g(x)$, on pose $h(x)=f(x)-g(x)$ et on étudie la fonction $h$
(variations, étude aux bornes, etc…) dans le but de prouver que l'on a toujours $h(x)\leq 0$. (voir cet exercice)
Plan d'étude d'une fonction
- déterminer le domaine de définition;
- étudier la parité, la périodicité et les symétries éventuelles de la courbe pour limiter le domaine d'étude;
- étudier les variations (par exemple, mais pas toujours, en calculant la dérivée et en étudiant son signe);
- déterminer les limites aux bornes du tableau de variations afin de trouver les asymptotes horizontales et verticales;
- tracer la courbe représentative.
Déterminer la limite d'une somme, d'un quotient
Pour déterminer la limite d'une somme ou d'un quotient quand on a affaire à une forme indéterminée, on peut utiliser les
théorèmes de croissance comparée et mettre en facteur le terme dominant. (voir cet exercice)