$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : Ensembles, applications, relations

Egalité d'ensembles
  Pour démontrer que $A=B$, on démontre que $A\subset B$ et que $B\subset A$.
Applications injectives

Pour démontrer qu'une application $f:E\to F$ est injective, on peut démontrer :

  • que pour tout $y\in F$, l'équation $y=f(x)$, d'inconnue $x\in E$, admet au plus une solution;
  • que pour tous $x,x'\in E$, l'équation $f(x)=f(x')$ entraine que $x=x'$;

Applications surjectives

Pour démontrer qu'une application $f:E\to F$ est surjective, on démontre que, pour tout $y\in F$, l'équation $y=f(x)$ admet toujours au moins une solution $x$ dans $E$.

Applications bijectives

Pour démontrer qu'une application $f:E\to F$ est bijective, on peut

  • démontrer qu'elle est injective et surjective;
  • démontrer que, pour tout $y\in F$, l'équation $y=f(x)$ admet une unique solution;
  • démontrer qu'il existe une application $g:F\to E$ telle que $f\circ g=Id_F$ et $g\circ f=Id_E$. Dans ce cas, $g$ est la réciproque de $f$.
Réciproque

Pour calculer la réciproque d'une application $f:E\to F$ bijective, on résout pour tout $y$ de $F$ l'équation $y=f(x)$, d'inconnue $x\in E$, c'est-à-dire que l'on exprime $x$ en fonction de $y$.

Relations
  Pour démontrer qu'une relation est une relation d'ordre ou une relation d'équivalence, on applique la définition!