Méthodes : nombres complexes
Pour mettre sous forme trigonométrique un complexe $z=a+ib$, on met en facteur le module $\sqrt{a^2+b^2}$, puis on cherche un angle $\theta$ tel que $$\left\{ \begin{array}{rcl} \cos\theta&=&\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \sin\theta&=&\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}. \end{array} \right. $$ Pour trouver $\theta$, on peut s'aider du cercle trigonométrique (voir cet exercice).
Pour mettre sous forme trigonométrique la somme de deux nombres complexes de même module, on factorise par l'angle moitié : $$re^{i\alpha}+re^{i\beta}=re^{i\frac{\alpha+\beta}2}\left(e^{i\frac{\alpha-\beta}2}+e^{-i\frac{\alpha-\beta}2}\right)=2r\cos\left(\frac{\alpha-\beta}2\right)e^{i\frac{\alpha+\beta}2}.$$ Attention! $\cos\left(\frac{\alpha-\beta}2\right)$ n'est pas nécessairement positif, on n'a pas toujours automatiquement la forme trigonométrique. Dans le cas où ce réel est négatif, il faut faire un décalage d'angle de $\pi$ (voir cet exercice).
Pour calculer la puissance d'un nombre complexe, on l'écrit sous forme trigonométrique (voir cet exercice).
Si $w=x+iy$, on cherche les solutions de $z^2=w$ avec $z=u+iv$ en écrivant que : $$\left\{ \begin{array}{rcl} \Re e(z^2)&=&\Re e(w)\\ \Im m(z^2)&=&\Im m(w)\\ |z|^2&=&|w| \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{rcl} u^2-v^2&=&x\\ 2uv&=&y\\ u^2+v^2&=&\sqrt{x^2+y^2} \end{array} \right. $$ La première et la dernière équation donnent $u$ et $v$ au signe près, la seconde donne le signe du produit $uv$, donc les deux racines souhaitées (voir cet exercice).
Pour calculer la racine $n$-ième d'un nombre complexe, c'est-à-dire pour résoudre l'équation $z^n=a$ avec $a\neq 0$,
- on commence par mettre $a$ sous forme trigonométrique, $a=re^{i\theta}$
- on utilise le théorème qui nous dit qu'alors les solutions sont les nombres complexes $r^{1/n}e^{i\left(\frac\theta n+\frac{2k\pi}n\right)}$, avec $k=0,\dots,n-1$.
Pour résoudre l'équation $e^z=w$, on écrit $w$ sous forme trigonométrique $w=re^{i\theta}$ et $z$ sous forme algébrique, $z=a+ib$. L'équation devient $$e^ae^{ib}=re^{i\theta}\iff a=\ln r\textrm{ et }b=\theta+2k\pi,\ k\in\mathbb Z$$ (voir cet exercice).
Pour linéariser $\sin^n t$ et $\cos^n t$ :
- on utilise la formule d'Euler en remplaçant $\cos t$ par $\frac{e^{it}+e^{-it}}2$ et $\sin t$ par $\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}$;
- on développe en utilisant la formule du binôme de Newton;
- on regroupe les exponentielles d'angles opposés en utilisant à nouveau la formule d'Euler
Pour exprimer $\sin(nt)$ et $\cos(nt)$ en un polynôme en $\sin t$ et $\cos t$ :
- on utilise la formule de Moivre $$(\cos t+i\sin t)^n=\cos(nt)+i\sin(nt),$$
- on développe le membre de gauche par la formule du binôme de Newton;
- on identifie les parties réelles et les parties imaginaires
Pour factoriser des sommes de sinus et de cosinus, il est souvent utile d'écrire $\cos(nt)=\Re e(e^{int})=\Re e((e^{it})^n)$, puis de reconnaître une somme géométrique (voir cet exercice).
Si $a\neq 1$, alors la transformation $z\mapsto az+b$ est une similtude directe. Son rapport est $|a|,$ son angle est un argument de $a,$ et son centre est le point d'affixe l'unique solution de $z=az+b$ (voir cet exercice).