Math sup : Matrices
Produit de matrices
Enoncé 

Soient $a$ et $b$ des réels non nuls, et $A=\left( \begin{array}{cc} a & b\\
0 &a \end{array} \right).$ Trouver toutes les matrices $B\in\mathcal M_2(\mathbb R)$ qui commutent avec $A$,
c'est-à-dire telles que $AB=BA$.
Enoncé 

On considère les matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}
1&0&0\\
0&1&1\\
3&1&1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
0&1&0\\
1&0&0\end{array}\right)$ et $C=\left(\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
1&2&1\\
0&-1&-1\end{array}\right)$. Calculer $AB$, $AC$. Que constate-t-on? La matrice $A$ peut-elle être inversible?
Trouver toutes les matrices $F\in\mathcal M_3(\mathbb R)$ telles que $AF=0$ (où $0$ désigne la matrice nulle).
Enoncé 

Déterminer deux éléments $A$ et $B$ de
$\mathcal M_2({\mathbb R})$ tels que : $AB=0$ et $BA\not = 0$.
Enoncé 

On considère les matrices suivantes :
$$A=\left(\begin{array}{cc}
1&-1\\
-1&1\\
\end{array}\right),\ B=\left(\begin{array}{cc}
1&1\\
0&2\\
\end{array}\right).$$
Calculer $A^2$, $A^3$. En déduire la valeur de $A^n$ pour tout $n\geq 1$. Répondre aux mêmes questions pour $B$.
Exercice 5 
- Puissance $n$-ième - avec la formule du binôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Soit $$A=\left(
\begin{array}{ccc}
1&1&0\\
0&1&1\\
0&0&1
\end{array}\right),\quad
I=\left(
\begin{array}{ccc}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{array}\right)\textrm{ et }
B=A-I.$$
Calculer $B^n$ pour tout $n\in\mathbb N$. En déduire $A^n$.
Exercice 6 

- Puissance $n$-ième - avec un polynôme annulateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

- Pour $n\geq 2$, déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-3X+2$.
- Soit $A=\begin{pmatrix} 0&1&-1\\ -1&2&-1\\ 1&-1&2 \end{pmatrix}$. Déduire de la question précédente la valeur de $A^n$, pour $n\geq 2$.
Exercice 7 


- Centre de $\mathcal M_n(\mathbb R)$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]




Enoncé 

Déterminer le centre de $\mathcal M_n(\mathbb R)$, c'est-à-dire l'ensemble des matrices $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ telle que, pour tout $M\in\mathcal M_n(\mathbb R)$, on a $AM=MA$.
Inverse de matrices
Exercice 8
- Inverser une matrice à partir d'une égalité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé 

- Soit $\dis A=\left( \begin{array}{ccc} -1&1&1\\ 1&-1&1\\ 1&1&-1 \end{array}\right)$. Montrer que $A^2=2I_3-A$, en déduire que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.
- Soit $ A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \cr 0 & -1 & 1 \cr 1 & -2 & 0 \cr \end{pmatrix} .$ Calculer $ A^3-A .$ En déduire que $ A $ est inversible puis déterminer $ A^{-1} .$
- Soit $A=\begin{pmatrix} 0&1&-1\\ -1&2&-1\\ 1&-1&2 \end{pmatrix}$. Calculer $A^2-3A+2I_3$. En déduire que $A$ est inversible, et calculer $A^{-1}$.
Enoncé 

Dire si les matrices suivantes sont inversibles et, le
cas échéant, calculer leur inverse :
$$A=\left(
\begin{array}{rcl}
1&1&2\\
1&2&1\\
2&1&1
\end{array}
\right),\quad
B=\left(
\begin{array}{rcl}
0&1&2\\
1&1&2\\
0&2&3
\end{array}
\right),\quad
C=\left(
\begin{array}{rcl}
1&4&7\\
2&5&8\\
3&6&9
\end{array}\right),\quad
I=\left(
\begin{array}{rcl}
i&-1&2i\\
2&0&2\\
-1&0&1
\end{array}\right).$$
Enoncé 

Démontrer que la matrice suivante est inversible, et calculer son inverse.
$$A=\left(
\begin{array}{cccc}
1&1&\dots&1\\
0&1&1&\dots\\
\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\
0&\dots&\dots&1
\end{array}
\right).$$
Enoncé 

Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ une matrice nilpotente, c'est-à-dire qu'il existe $p\geq 1$ tel que $A^p=0$. Démontrer que la matrice $I_n-A$ est inversible, et déterminer son inverse.
Enoncé 

Pour $n\geq 1$, on note $\mathcal D$ l'ensemble des matrices $A$ de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ telles que $a_{i,j}\geq 0$ pour tout $i,j$ et
$$\sum_{j=1}^n a_{i,j}=1$$
pour tout $i=1,\dots,n$.
- Démontrer que $\mathcal D$ est stable par produit.
- Déterminer les matrices $A$ de $\mathcal D$ qui sont inversibles et telles que $A^{-1}\in\mathcal D$.
Rang de matrices
Enoncé 

Calculer le rang des matrices suivantes :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle
\mathbf{1.}\ A=\left(
\begin{array}{ccc}
1&2&3\\
2&3&4\\
3&4&5
\end{array}\right)&\quad\quad&
\displaystyle
\mathbf{2.}\
B=\left(
\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
1&2&4\\
1&3&9
\end{array}\right)
\\
\displaystyle
\mathbf{3.}\
C=\left(\begin{array}{cccc}
1&2&3&2\\
2&3&4&2\\
3&4&5&2\\
\end{array}
\right)
&&\displaystyle
\mathbf 4.\ D=\left(\begin{array}{cccc}
1&2&1&2\\
-2&-3&0&-5\\
4&9&6&7\\
1&-1&-5&5
\end{array}
\right)
\end{array}.$$
Enoncé 

Déterminer, suivant la valeur du réel $a$, le rang de la matrice suivante :
$$A=\left(
\begin{array}{cccc}
1&a&a^2&a^3\\
a&a^2&a^3&1\\
a^2&a^3&1&a\\
a^3&1&a&a^2
\end{array}\right).$$
Enoncé 

Soit $B$ la matrice diagonale par blocs
$$B=\left(
\begin{array}{cccc}
A_1&0&\dots&0\\
0&A_2&\ddots&\vdots\\
\vdots&\dots&\ddots&\vdots\\
0&\dots&0&A_n
\end{array}
\right).$$
Calculer le rang de $B$ en fonction du rang des $A_i$.
Ensemble de matrices
Exercice 16 
- Un sous-espace vectoriel de matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Soit $ E $ le sous ensemble de $ M_3({\mathbb R}) $
défini par
$$ E = \Bigl \{ M(a,b,c)=\left( \begin{array}{ccc} a & 0 & c \\
0 & b & 0 \\
c & 0 & a \\ \end{array}\right):\;\; a , b , c \in {\mathbb R} \Bigr \} .$$
Montrer que $ E $ est un sous-espace vectoriel de $ M_3(\mathbb R) $ stable
pour la multiplication des matrices. Calculer $ \hbox{dim} (E) .$
Exercice 17 
- Matrices symétriques et anti-symétriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Montrer que l'ensemble des matrices symétriques ($A=\ ^t\!A$) et l'ensemble des matrices anti-symétriques ($A=-\ ^t\!A$) sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
Enoncé 

Soit $n\geq 3$. On dit qu'une matrice $M\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ est magique
si, pour tout $j\in\{1,\dots,n\}$, on a
$$\sum_{i=1}^n m_{i,j}=\sum_{i=1}^n m_{j,i}=\sum_{i=1}^n m_{i,i}=\sum_{i=1}^n m_{i,n+1-i}.$$
On note $MG(n)$ l'ensemble des matrices magiques d'ordre $n$.
- Que signifie être une matrice magique?
- Montrer que $MG(n)$ est un espace vectoriel.
- Montrer que l'application $\phi:MG(n)\to\mathcal M_{n-2,n-1}(\mathbb R)\times\mathbb R^{n-2}$, qui envoie la matrice $M$ qui s'écrit $$M=\left( \begin{array}{ccccc} &&&&m_{1,n}\\ &M_1&&&\vdots\\ &&&&m_{n-2,n}\\ m_{n-1,1}&\dots&\dots&m_{n-1,n-1}&m_{n-1,n}\\ m_{n,1}&\dots&\dots&m_{n,n-1}&m_{n,n} \end{array}\right)$$ sur $(M_1,m_{1,n},m_{n-1,1},m_{n-1,3},m_{n-1,4},\dots,m_{n-1,n-2})$ est un isomorphisme d'espace vectoriel.
- En déduire la dimension de $MG(n)$.
Application des matrices
Enoncé 

Soient $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$ trois suites réelles telles que $a_0=1$, $b_0=2$, $c_0=7$, et vérifiant les relations de récurrence :
$$
\left\{
\begin{array}{rcccc}
a_{n+1}&=&3a_n+&b_n&\\
b_{n+1}&=&&3b_n+&c_n\\
c_{n+1}&=&&&3c_n
\end{array}
\right.$$
On souhaite exprimer $a_n$, $b_n$, et $c_n$ uniquement en fonction de $n$.
- On considère le vecteur colonne $X_n=\left(\begin{array}{c}a_n\\b_n\\c_n\end{array}\right)$. Trouver une matrice $A$ telle que $X_{n+1}=AX_n$. En déduire que $X_n=A^n X_0$.
- Soit $N=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{array}\right)$. Calculer $N^2$, $N^3$, puis $N^p$ pour $p\geq 3$.
- Montrer que : $$A^n=3^{n}I+3^{n-1}nN+3^{n-2}\frac{n(n-1)}{2}N^2.$$
- En déduire $a_n$, $b_n$ et $c_n$ en fonction de $n$.
Enoncé 

Soit $I=[a,b]$ un intervalle, $\theta_1,\ \theta_2,\ \theta_3$ trois fonctions continues sur $I$, à valeurs réelles, et pour lesquelles on peut trouver des coefficients réels $a_1,\ a_2,\ a_3$ non tous nuls tels que la fonction $$\theta=a_1\theta_1+a_2\theta_2+a_3\theta_3$$
admette au moins trois racines distinctes $x_1,\ x_2,\ x_3$. Prouver qu'il existe des réels $\lambda_1,\ \lambda_2,\ \lambda_3$ non tous nuls tels que :
$$\lambda_1\theta_k(x_1)+\lambda_2\theta_k(x_2)+\lambda_3\theta_k(x_3)=0,$$
pour $k=1,2$ ou 3.
Matrices d'applications linéaires - exercices pratiques
Enoncé 

Soit $u$ l'application de $\mathbb R^3$ dans $\mathbb R^4$ définie par
\[
u(x,y,z)=(-x+y,x-y,-x+z,-y+z).
\]
- Montrer que $u$ est linéaire
- Soient $\{\mathcal E_1,\mathcal E_2,\mathcal E_3\}$ la base canonique de $\mathbb R^3$ et $\{\mathcal F_1,\mathcal F_2,\mathcal F_3,\mathcal F_4\}$ la base canonique de $\mathbb R^4$. Calculer $u(\mathcal E_1)$, $u(\mathcal E_2)$ et $u(\mathcal E_3)$ en fonction de $\mathcal F_1$, $\mathcal F_2$, $\mathcal F_3$ et $\mathcal F_4$.
- Écrire la matrice de $u$ dans les bases canoniques de $\mathbb R^3$ et $\mathbb R^4$.
- Montrer que $\{\mathcal F_1,\mathcal F_2,u(\mathcal E_1),u(\mathcal E_2)\}$ est une base de $\mathbb R^4$.
- Écrire la matrice de $u$ dans les bases $\{\mathcal E_1,\mathcal E_2,\mathcal E_3\}$ et $\{\mathcal F_1,\mathcal F_2,u(\mathcal E_1),u(\mathcal E_2)\}$.
Enoncé 

Soit $( \mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,\mathcal{E}_3 )$ la base canonique de $\mathbb R^3$, $w_1=(1,-2,0)$, $w_2=(-1,2,0)$, $w_3=(0,0,2)$ et $u$ l'endomorphisme de $\mathbb R^3$ défini par la donnéee des images des vecteurs de la base :
$$u(\mathcal{E}_1) = w_1\; , u(\mathcal{E}_2)=w_2 \; , u(\mathcal{E}_3)=w_3.$$
-
- Exprimer $w_1$, $w_2$, $w_3$ en fonction de $\mathcal{E}_1$, $\mathcal{E}_2$ et $\mathcal{E}_3$. En déduire la matrice de $u$ dans la base canonique.
- Soit $W=(x,y,z) \in \mathbb R^3$. Calculer $u(W)$.
-
- Trouver une base de $\ker(u)$ et une base de $\textrm{Im}(u)$.
- Montrer que $\mathbb R^3 = \ker(u) \oplus \textrm{Im}(u)$.
- Déterminer $\ker(u-Id)$ et $\textrm{Im}(u-Id)$ où $Id$ désigne l'identité de $\mathbb R^3$. En déduire que $u-Id$ est un automorphisme de $\mathbb R^3$.
Enoncé 

On considère l'endomorphisme $f$ de $\mathbb R^3$ dont la matrice
dans la base canonique est :
$$A=\left(
\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
-1&2&-2\\
0&3&-1
\end{array}\right).$$
Donner une base de $\ker(f)$ et de $\textrm{Im}(f)$.
Enoncé 

On considère l'endomorphisme $f$ de $\mathbb R^3$ dont la matrice
dans la base canonique est :
$$M=\left(
\begin{array}{ccc}
1&1&-1\\
-3&-3&3\\
-2&-2&2
\end{array}\right).$$
Donner une base de $\ker(f)$ et de $\textrm{Im}(f)$. En déduire que $M^n=0$ pour tout $n\geq 2$.
Enoncé 

Soit $u$ l'application linéaire de $\mathbb R^3$ dans $\mathbb R^2$ dont la matrice dans leur base
canonique respective est
$$A=\left(
\begin{array}{ccc}
2&-1&1\\
3&2&-3
\end{array}\right).$$
On appelle $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathbb R^3$ et $(f_1,f_2)$ celle de $\mathbb R^2$. On pose
$$e_1'=e_2+e_3,\ e_2'=e_3+e_1,\ e_3'=e_1+e_2\textrm{ et }f_1'=\frac{1}{2}(f_1+f_2),\ f_2'=\frac{1}{2}(f_1-f_2).$$
- Montrer que $(e_1',e_2',e_3')$ est une base de $\mathbb R^3$ puis que $(f_1',f_2')$ est une base de $\mathbb R^2$.
- Quelle est la matrice de $u$ dans ces nouvelles bases?
Enoncé 

Soient $\alpha,\beta$ deux réels et
$$M_{\alpha,\beta}=\left(\begin{array}{cccc}
1&3&\alpha&\beta\\
2&-1&2&1\\
-1&1&2&0
\end{array}\right).$$
Déterminer les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ pour lesquelles l'application linéaire associée à $M_{\alpha,\beta}$
est surjective.
Enoncé 

Soient, dans $\mathbb R^3$, $P$ le plan d'équation $z=x-y$ et $D$ la droite
d'équation $x=-y=z$. Trouver la matrice dans la base canonique de $\mathbb R^3$
de la projection $p$ de $\mathbb R^3$ sur $P$ parallèlement à $D$.
Exercice 28 

- Application linéaire définie sur les matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

Soient $A=\left(\begin{array}{cc}-1&2\\1&0\end{array}\right)$
et $f$ l'application de $M_2(\mathbb R)$ dans $M_2(\mathbb R)$
définie pour tout $M\in M_2(\mathbb R)$ par $f(M)=AM$.
- Montrer que $f$ est linéaire.
- Déterminer sa matrice dans la base canonique de $M_2(\mathbb R)$.
Exercice 29 

- Matrice inverse et application linéaire sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

Soit $A$ la matrice de $\mathcal M_{n+1}(\mathbb R)$
définie par $a_{i,j}=\binom{j-1}{i-1}$ si $i\leq j$, $a_{i,j}=0$
sinon.
- Interpréter $A$ comme la matrice d'un endomorphisme de $\mathbb R_{n}[X]$.
- En déduire que $A$ est inversible, et calculer son inverse.
Matrices d'applications linéaires - exercices théoriques
Enoncé 

Prouver qu'une matrice $A$ de $M_{n,p}(\mathbb K)$ de rang $r$ s'écrit comme somme de $r$ matrices de rang 1.
Enoncé 

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. On souhaite démontrer qu'il existe une base de
$\mathcal L(E)$ constituée de projecteurs. On fixe une base $\mathcal B$ de $E$.
On note $E_{i,j}$ les matrices élémentaires de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
- A quelle condition une matrice $M\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ est-elle la matrice dans la base $\mathcal B$ d'un projecteur de $E$.
- En déduire que pour tout $i,j\in\{1,\dots n\}$ avec $i\neq j$, les matrices $E_{i,i}$ et $E_{i,i}+E_{i,j}$ sont des matrices de projecteurs.
- Démontrer la propriété annoncée.
Enoncé 

Soit $A\in\mathcal M_{3,2}(\mathbb R)$, $B\in\mathcal M_{2,3}(\mathbb R)$ tels que
$$AB=\left(
\begin{array}{ccc}
0&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{array}
\right).$$
Démontrer que $BA=I_2$.
Enoncé 

Soit $A\in M_n(\mathbb C)$ une matrice à diagonale dominante, c'est-à-dire que
pour tout $i\in\{1,\dots,n\}$, on a $|a_{i,i}|>\sum_{j\neq i}|a_{i,j}|$.
Montrer que la matrice $A$ est inversible.
Exercice 34 


- Matrices équivalentes et matrices nilpotentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]




Enoncé 

Montrer qu'une matrice de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ qui n'est pas inversible est
équivalente à une matrice nilpotente.
Enoncé 

- Soit $E$ un espace vectoriel et $f\in\mathcal L(E)$. Montrer que $f$ est une homothétie si et seulement si, pour tout $x\in E$, la famille $(x,f(x))$ est liée.
- Soit $M\in M_n(\mathbb K)$ de trace nulle. Montrer que $M$ est semblable à une matrice n'ayant que des zéros sur la diagonale.