Math sup : généralités sur les espaces vectoriels
Sous-espace vectoriel
Enoncé
Parmi les ensembles suivants, lesquels sont, ou ne sont pas, des sous-espaces vectoriels?
- $E_1=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x+y+3z=0\}$;
- $E_2=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x+y+3z=2\}$;
- $E_3=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4;\ x=y=2z=4t\}$;
- $E_4=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ xy=0\}$;
- $E_5=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ y=x^2\}$;
- $E_6=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ 2x+3y-5z=0\}\cap\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x-y+z=0\}$;
- $E_7=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ 2x+3y-5z=0\}\cup\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x-y+z=0\}$.
Exercice 2 - Est-ce un sous-espace vectoriel (bis)? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer si les ensembles suivants sont ou ne sont pas des sous-espaces vectoriels :
- $E_1=\{P\in\mathbb R[X];\ P(0)=P(2)\}$;
- $E_2=\{P\in\mathbb R[X];\ P'(0)=2\}$;
- Pour $A\in\mathbb R[X]$ non-nul fixé, $E_3=\{P\in\mathbb R[X]; A|P\}$;
- $\mathcal D$ l'ensemble des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ qui sont dérivables;
- $E_4$, l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y'+a(x) y=0$, où $a\in\mathcal D$.
- $E_5$, l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y'+a(x) y=x$, où $a\in\mathcal D$.
Exercice 3 - Réunion de deux sous-espaces vectoriels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels
de $E$. Montrer que $F\cup G$ est encore un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si
$F\subset G$ ou $G\subset F$.
Combinaisons linéaires
Enoncé
Les vecteurs $u$ suivants sont-ils combinaison linéaire des vecteurs $u_i$?
- $E=\mathbb R^2$, $u=(1,2)$, $u_1=(1,-2)$, $u_2=(2,3)$;
- $E=\mathbb R^2$, $u=(1,2)$, $u_1=(1,-2)$, $u_2=(2,3)$, $u_3=(-4,5)$;
- $E=\mathbb R^3$, $u=(2,5,3)$, $u_1=(1,3,2)$, $u_2=(1,-1,4)$;
- $E=\mathbb R^3$, $u=(3,1,m)$, $u_1=(1,3,2)$, $u_2=(1,-1,4)$ (discuter suivant la valeur de $m$).
Enoncé
Émile achète pour sa maman une bague contenant 2g d'or, 5g de cuivre et 4g d'argent. Il la paie 6200 euros.
Paulin achète pour sa maman une bague contenant 3g d'or, 5g de cuivre et 1g d'argent. Il la paie 5300 euros.
Frédéric achète pour sa chérie une bague contenant 5g d'or, 12g de cuivre et 9g d'argent. Combien va-t-il la payer?
Paulin achète pour sa maman une bague contenant 3g d'or, 5g de cuivre et 1g d'argent. Il la paie 5300 euros.
Frédéric achète pour sa chérie une bague contenant 5g d'or, 12g de cuivre et 9g d'argent. Combien va-t-il la payer?
Familles libres
Enoncé
Les familles suivantes sont-elles libres dans $\mathbb R^3$ (ou $\mathbb R^4$ pour la dernière famille)?
- $(u,v)$ avec $u=(1,2,3)$ et $v=(-1,4,6)$;
- $(u,v,w)$ avec $u=(1,2,-1)$, $v=(1,0,1)$ et $w=(0,0,1)$;
- $(u,v,w)$ avec $u=(1,2,-1)$, $v=(1,0,1)$ et $w=(-1,2,-3)$;
- $(u,v,w,z)$ avec $u=(1,2,3,4)$, $v=(5,6,7,8)$, $w=(9,10,11,12)$ et $z=(13,14,15,16)$.
Enoncé
On considère dans $\mathbb R^3$ les vecteurs
$v_1=(1,1,0)$, $v_2=(4,1,4)$ et $v_3=(2,-1,4)$.
- Montrer que la famille $(v_1,v_2)$ est libre. Faire de même pour $(v_1,v_3)$, puis pour $(v_2,v_3)$.
- La famille $(v_1,v_2,v_3)$ est-elle libre?
Enoncé
On considère dans $\mathbb R^3$ les vecteurs
$$v_1=(1,-1,1),\ v_2=(2,-2,2),\ v_3=(2,-1,2).$$
- Peut-on trouver un vecteur $w$ tel que $(v_1,v_2,w)$ soit libre? Si oui, construisez-en un.
- Même question en remplaçant $v_2$ par $v_3$.
Enoncé
Soit $(P_1,\dots,P_n)$ une famille de polynômes de $\mathbb C[X]$ non nuls, à degrés échelonnés, c'est-à-dire
$\deg(P_1)<\deg(P_2)<\dots<\deg(P_n)$. Montrer que $(P_1,\dots,P_n)$ est une famille libre.
Enoncé
Soit $E=\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. Étudier l'indépendance linéaire des familles suivantes :
- $(\sin x,\cos x)$;
- $(\sin 2x,\sin x,\cos x)$;
- $(\cos 2x,\sin^2 x,\cos^2 x)$;
- $(x,e^x,\sin(x))$.
Enoncé
Démontrer que les familles suivantes sont libres dans $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$:
- $(x\mapsto e^{ax})_{a\in\mathbb R}$;
- $(x\mapsto |x-a|)_{a\in\mathbb R}$;
- $(x\mapsto \cos(ax))_{a>0}$;
- $(x\mapsto (\sin x)^n)_{n\geq 1}$.
Enoncé
Soit $(v_1,\dots,v_n)$ une famille libre d'un $\mathbb R$-espace vectoriel $E$.
Pour $k=1,\dots,n-1$, on pose $w_k=v_k+v_{k+1}$ et $w_n=v_n+v_1$. Etudier
l'indépendance linéaire de la famille $(w_1,\dots,w_n)$.
Sous-espace vectoriel engendré
Exercice 13 - D'un système générateur à un système d'équations... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner un système d'équations des espaces vectoriels engendrés par les vecteurs suivants :
- $u_1=(1,2,3)$;
- $u_1=(1,2,3)$ et $u_2=(-1,0,1)$;
- $u_1=(1,2,0)$, $u_2=(2,1,0)$ et $u_3=(1,0,1)$.
Exercice 14 - D'un système d'équations à un système générateur... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Trouver un système générateur des sous-espaces vectoriels suivants de $\mathbb R^3$:
- $F=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x+2y-z=0\}$;
- $G=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x-y+z=0\textrm{ et }2x-y-z=0\}$.
Enoncé
Dans les exemples suivants, démontrer que les sous-espaces $F$ et $G$ de $E$ sont égaux.
- $E=\mathbb R^3$, $u_1=(1,1,3)$, $u_2=(1,-1,-1)$, $v_1=(1,0,1)$, $v_2=(2,-1,0)$, $F=\textrm{vect}(u_1,u_2)$ et $G=\textrm{vect}(v_1,v_2)$.
- $E=\mathbb R^3$, $F=\textrm{vect}\big((2,3,-1),(1,-1,-2)\big)$ et $G=\textrm{vect}\big((3,7,0),(5,0,-7)\big)$.
- $E=\mathbb R^3$, $F=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x+y+z=0\}$, $u_1=(1,1,-2)$, $u_2=(1,-4,3)$ et $G=\textrm{vect}(u_1,u_2)$.
- $E=\mathbb R^4$, $$F=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4;\ x+y+z+t=0\textrm{ et }x-y+2z-2t=0\}$$ $$G=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4;\ 5x+y+7z-t=0\textrm{ et }x-3y+3z-5t=0\}.$$
Sous-espaces supplémentaires
Enoncé
On considère dans $\mathbb R^4$ les cinq vecteurs suivants : $v_1=(1,0,0,1)$, $v_2=(0,0,1,0)$, $v_3=(0,1,0,0)$, $v_4=(0,0,0,1)$ et $v_5=(0,1,0,1)$. Dire si les sous-espaces vectoriels suivants sont supplémentaires dans $\mathbb R^4$.
- $\textrm{vect}(v_1,v_2)$ et $\textrm{vect}(v_3)$?
- $\textrm{vect}(v_1,v_2)$ et $\textrm{vect}(v_4,v_5)$?
- $\textrm{vect}(v_1,v_3,v_4)$ et $\textrm{vect}(v_2,v_5)$?
- $\textrm{vect}(v_1,v_4)$ et $\textrm{vect}(v_3,v_5)$?
Enoncé
Soit $E=\mathbb R^4$. On considère $(u_1,u_2,u_3,u_4)$ une famille libre de $E$ et on pose
$$F=\textrm{vect}(u_1+u_2,u_3),\ G=\textrm{vect}(u_1+u_3,u_4),\ H=\textrm{vect}(u_1+u_4,u_2).$$
Démontrer que $F\cap G=\{0\}$, que $F\cap H=\{0\}$ et que $G\cap H=\{0\}$. La somme $F+G+H$ est-elle directe?
Exercice 18 - Périodiques et tend vers 0 à l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, $F$ le sous-espace vectoriel des fonctions périodiques de période 1 et $G$ le sous-espace vectoriel des fonctions $f$ telles que $\lim_{+\infty}f=0$. Démontrer que $F\cap G=\{0\}$. Est-ce que $F$ et $G$ sont supplémentaires?
Enoncé
Soit $E$ l'espace vectoriel des suites réelles,
$$F=\{u\in E;\ \forall n\in\mathbb N,\ u_{2n}=0\}$$
$$G=\{u\in E;\ \forall n\in\mathbb N,\ u_{2n}=u_{2n+1}\}.$$
Démontrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E.$
Enoncé
Soit $A\in\mathbb R[X]$ un polynôme non constant et $F=\{P\in\mathbb R[X];\ A\textrm{ divise }P\}$.
Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R[X]$ et trouver un supplémentaire à $F$.
Exercice 21 - Transformer une somme en somme directe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$ tels que
$F+G=E$. Soit $F'$ un supplémentaire de $F\cap G$ dans $F$. Montrer que
$F'\oplus G=E$.
Exercice 22 - Caractérisation de la somme directe de 3 sous-espaces vectoriels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un espace vectoriel et $F,G,H$ trois sous-espaces vectoriels de $E$. Démontrer que $F$, $G$ et $H$ sont en somme directe si et seulement si ($F\cap G=\{0\}$ et $(F+G)\cap H=\{0\}$).
Exercice 23 - Fonctions paires / Fonctions impaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$.
On note $F$ le sous-espace vectoriel des fonctions paires (ie $f(-x)=f(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$)
et $G$ le sous-espace vectoriel des fonctions impaires (ie $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$).
Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires.
Exercice 24 - Un supplémentaire n'est jamais unique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel dans lequel tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire. Soit $F$ un sous-espace vectoriel propre de $E$ (c'est-à-dire que $F\neq \{0\}$ et que $F\neq E$). Démontrer que $F$ admet au moins deux supplémentaires distincts.
Exercice 25 - Fonctions qui s'annulent en un (plusieurs) point(s) [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$.
- Soit $a\in\mathbb R$. On désigne par $F$ le sous-espace des fonctions constantes et par $G_a$ le sous-espace des fonctions qui s'annulent en $a$. Montrer que $F$ et $G_a$ sont supplémentaires dans $E$.
- Plus généralement, soient $a_0,\dots,a_N$ des éléments distincts de $\mathbb R$ et $G=\{f\in E;\ f(a_0)=\dots=f(a_N)=0\}$. Trouver un supplémentaire à $G$.
Exemples d'applications linéaires
Exercice 26 - Applications linéaires ou non (sur $\mathbb R^n$)? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dire si les applications suivantes sont des applications linéaires :
- $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3,\ (x,y)\mapsto (x+y,x-2y,0)$;
- $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3,\ (x,y)\mapsto (x+y,x-2y,1)$;
- $f:\mathbb R^2\to\mathbb R,\ (x,y)\mapsto x^2-y^2$.
Enoncé
Soit $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ l'application linéaire définie par
$$f(x,y)=(x+y,x-y,x+y).$$
Déterminer le noyau de $f$, son image. $f$ est-elle injective? surjective?
Enoncé
Soit $E=\mathcal C^{\infty}(\mathbb R)$ et $\phi\in\mathcal L(E)$ définie par $\phi(f)=f'$. Quel est le noyau de $\phi$? Quelle est son image? $\phi$ est-elle injective? surjective?
Exercice 29 - Application linéaire définie sur un espace de polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb C[X]$, $p$ un entier naturel et $f$ l'application de $E$ dans $E$ définie par
$f(P)=(1-pX)P+X^2P'$. $f$ est-elle injective? surjective?
Projecteurs et symétries
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $p,q$ deux projecteurs de $E$ tels que
$p\neq 0$, $q\neq 0$ et $p\neq q$. Démontrer que $(p,q)$ est une famille libre
de $\mathcal L(E)$.
Enoncé
Soient $E_1,\dots,E_n$ des sous-espaces vectoriels de $E$. On suppose que $E_1\oplus\dots\oplus E_n=E$.
On note $p_i$ le projecteur sur $E_i$ parallèlement à $\oplus_{j\neq i}E_j$. Montrer que
$p_i\circ p_j=0$ si $i\neq j$ et que $p_1+\dots+p_n=Id_E$.
Exercice 32 - Endomorphismes annulant un polynôme de degré 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in\mathcal L(E)$ et soient $\alpha,\beta$ deux réels distincts.
- Démontrer que $E=\textrm{Im}(f-\alpha Id_E)+\textrm{Im}(f-\beta Id_E)$.
On suppose de plus que $\alpha$ et $\beta$ sont non nuls et que $$(f-\alpha Id_E)\circ (f-\beta Id_E)=0.$$ - Démontrer que $f$ est inversible, et calculer $f^{-1}$.
- Démontrer que $E=\ker(f-\alpha Id_E)\oplus \ker(f-\beta Id_E)$.
- Exprimer en fonction de $f$ le projecteur $p$ sur $\ker(f-\alpha Id_E)$ parallèlement à $\ker(f-\beta Id_E)$.
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel. Soient $p$ et $q$ deux projecteurs de $E$.
- Montrer que $p+q$ est un projecteur si et seulement si $p\circ q=q\circ p=0$.
- Montrer que, dans ce cas, on a $\textrm{Im}(p+q)=\textrm{Im}(p)\oplus \textrm{Im}(q)$ et $\ker(p+q)=\ker p\cap \ker q$.
Exercices théoriques sur les applications linéaires
Exercice 34 - Avez-vous compris ce qu'étaient le noyau et l'image? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E,F,G$ trois $\mathbb K$-espaces vectoriels, et soient $f\in\mathcal L(E,F)$
et $g\in\mathcal L(F,G)$. Démontrer que
$$g\circ f=0\iff \textrm{Im}f\subset\ker g.$$
Exercice 35 - Endomorphismes qui commutent, noyaux et images [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $u,v\in\mathcal L(E)$. On suppose que $u\circ v=v\circ u$. Démontrer que $\textrm{ker}(u)$ et $\textrm{Im}(u)$ sont stables par $v$, c'est-à-dire que
$$v(\ker (u))\subset \ker (u)\textrm{ et }v(\textrm{Im}(u))\subset \textrm{Im}(u).$$
Exercice 36 - Endomorphisme nilpotent et famille libre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in\mathcal L(E)$ tel qu'il existe $n\geq 1$ vérifiant $f^n=0$ et $f^{n-1}\neq 0$. Démontrer qu'il existe $x\in E$ tel que la famille $(x,f(x),\dots,f^{n-1}(x))$ soit libre.
Enoncé
Soit $f\in\mathcal L(E)$. Démontrer que $\ker(f)$, $\ker(f-Id)$ et $\ker(f+Id)$ sont en somme directe.
Enoncé
Soient $E,F$ deux espaces vectoriels
et $f\in\mathcal L(E,F)$. Soit $G$ un supplémentaire
de $\ker(f)$ dans $E$. Montrer que $G$ et $\textrm{Im}(f)$
sont isomorphes.
Exercice 39 - Une caractérisation des homothéties [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $f\in\mathcal L(E)$ tel
que, pour tout $x\in E$, la famille $(x,f(x))$ est liée.
- Démontrer que pour tout $x\in E$, $x\neq 0$, il existe un scalaire $\lambda_x$ tel que $f(x)=\lambda_x x$.
- Soit $x,y\in E\backslash\{0\}$.
- Comparer $\lambda_x$ et $\lambda_y$ lorsque $(x,y)$ est liée.
- Comparer $\lambda_x$ et $\lambda_y$ lorsque $(x,y)$ est libre.
- En déduire que $f$ est une homothétie.
Exercice 40 - Factorisation d'une application linéaire surjective [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ et $F$ deux $K$-espaces vectoriels et $f$ appartenant à $\mathcal L(E,F)$.
- On suppose qu'il existe $g$ appartenant à $\mathcal L(F,E)$ telle que $f\circ g=Id_F$. Montrer que $f$ est surjective.
- On suppose que $f$ est surjective. On admet l'existence d'un sous-espace
vectoriel $G$ de $E$ tel que $G\oplus \ker(f)=E$.
- Soit $\hat f:G\to F$, $x\mapsto f(x)$. Montrer que $\hat f$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
- Soit $g:F\to E$, $y\mapsto \hat f^{-1}(y)$. Calculer $f\circ g$.
- Conclure.
Exercice 41 - Factorisation et inclusion de noyaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans cet exercice, on admet que dans tout espace vectoriel,
un sous-espace admet un supplémentaire.
Soient $E,F$ deux espaces vectoriels et $u,v\in\mathcal L(E,F)$. Montrer que $$\ker(u)\subset\ker(v)\iff \exists f\in\mathcal L(F)\textrm{ tel que }v=f\circ u.$$
Soient $E,F$ deux espaces vectoriels et $u,v\in\mathcal L(E,F)$. Montrer que $$\ker(u)\subset\ker(v)\iff \exists f\in\mathcal L(F)\textrm{ tel que }v=f\circ u.$$
Exercice 42 - Factorisation et inclusion des images [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans cet exercice, on suppose connue la propriété suivante : si $E_1$ est un espace vectoriel et $F_1$ est un sous-espace vectoriel de $E_1$, alors il possède un supplémentaire.
Soient alors $E,F,G$ trois espaces vectoriels, $u\in\mathcal L(F,G)$ et $v\in\mathcal L(E,G)$.
Démontrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
- $\textrm{Im}(v)\subset\textrm{Im}(u)$;
- Il existe $w\in\mathcal L(E,F)$ tel que $v=u\circ w$.