$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
Corps des fractions, opérations, degré
Une fraction rationnelle à coefficients dans $\mathbb K$ est le quotient
$\frac PQ$ de deux polynômes de $\mathbb K[X]$
avec $Q\neq 0$. Par définition, $\frac PQ=\frac RS$ si et seulement si $PS=QR$. On note $\mathbb K(X)$ l'ensemble des fractions à coefficients dans $\mathbb K$.
On définit l'addition et la multiplication de fractions rationnelles de façon naturelle :
$$\frac{P}{Q}+\frac{R}{S}=\frac{PS+RQ}{QS},$$
$$\frac{P}{Q}\times \frac{R}{S}=\frac{PR}{QS}.$$
Muni de ces deux opérations, $\mathbb K(X)$ est un corps.
Le degré d'une fraction rationnelle $\frac PQ$ est par définition $\deg(P)-\deg(Q)$.
C'est un élément de $\mathbb Z\cup\{-\infty\}$.
Fraction irréductible, zéros, pôles
Soit $F\in\mathbb K(X)$ une fraction rationnelle. Alors $F$ s'écrit $\frac PQ$ où $P,Q\in\mathbb K[X]$ sont premiers entre eux.
Cette écriture est unique, à un facteur multiplicatif près.
Elle s'appelle la représentation irréductible de $F$.
Si $F\in\mathbb K(X)$ s'écrit sous forme irréductible $\frac PQ$, alors les zéros
de $F$ sont les zéros de $P$, les pôles de $F$ sont les zéros de $Q$.
La multiplicité d'un zéro ou d'un pôle de $F$ est par définition sa multiplicité en tant que zéro de $P$ ou de $Q$.
Soit $F\in\mathbb K(X)$ s'écrivant sous forme irréductible $P/Q$. Notons $\mathcal P$ les pôles de $F$.
Alors on associe à $F$ une fonction définie sur $\mathbb K\backslash \mathcal P$ par $x\mapsto P(x)/Q(x).$
Cette fonction s'appelle fonction rationnelle associée à $F.$
Décomposition en éléments simples
Si $F=\frac PQ\in\mathbb K(X)$, on appelle partie entière de $F$ le quotient dans la division euclidienne de
$P$ par $Q$.
Décomposition en éléments simples sur $\mathbb C$ : Soit $F=\frac PQ\in\mathbb C(X)$ non-nulle
écrite sous forme irréductible et soit $E$ la partie entière de la fraction rationnelle. Si $Q$ se factorise dans $\mathbb C$ sous la forme
$\prod_{k=1}^r (X-z_k)^{\mu_k}$, alors il existe une unique famille $(\lambda_{k,j})$ de complexes telle que
$$F(X)=E(X)+\sum_{k=1}^r \left(\sum_{j=1}^{\mu_k} \frac{\lambda_{k,j}}{(X-z_k)^j}\right).$$
Décomposition en éléments simples sur $\mathbb R$ : Soit $F=\frac PQ\in\mathbb R(X)$ non nulle
écrite sous forme irréductible et soit $E$ la partie entière de la fraction rationnelle.
Si $Q$ se factorise dans $\mathbb R$ sous la forme
$\prod_{k=1}^r (X-x_k)^{\mu_k}\prod_{k=1}^s (X^2+\beta_k X+\gamma_k)^{\nu_k}$ avec $\beta_k^2-4\gamma_k<0$, alors il existe trois uniques familles $(\lambda_{k,j})$, $(\theta_{k,j})$ et $(\tau_{k,j})$ de réels telle que
$$F(X)=E(X)+\sum_{k=1}^r \left(\sum_{j=1}^{\mu_k} \frac{\lambda_{k,j}}{(X-x_k)^j}\right)+\sum_{k=1}^s\left(\sum_{j=1}^{\nu_k}\frac{\theta_{k,j}X+\tau_{k,j}}{(X^2+\beta_k X+\gamma_k)^j}\right).$$
Pratique de la décomposition en éléments simples
Pour décomposer une fraction rationnelle en éléments simples,
on l'écrit sous forme irréductible $P/Q$;
on calcule la partie entière de la fraction rationnelle en calculant le quotient de la division euclidienne de $P$ par $Q$;
on factorise le polynôme $Q$ en produit de polynômes irréductibles;
on écrit a priori la décomposition en éléments simples;
pour un pôle $a$ d'ordre $m$, le coefficient devant $\frac{1}{(X-a)^m}$ s'obtient s'obtient en multipliant
$\displaystyle \frac{P(X)}{Q(X)}$ par $(X-a)^m$ et en évaluant en $X=a$;
en particulier, si $a$ est un pôle simple, alors le terme devant $\frac{1}{X-a}$ est $P(a)/Q'(a)$.
pour déterminer les autres coefficients, on peut évaluer en un point, multiplier par $X$ et regarder la limite en $+\infty,$
mettre au même dénominateur et identifier...
si on réalise la décomposition en éléments simples sur $\mathbb R$ et qu'il y a un polynôme de degré $2$ dans la factorisation
de $Q$ en produits d'irréductibles, on peut réaliser la décomposition en éléments simples sur $\mathbb C$ puis regrouper
les parties polaires correspondant aux pôles conjugués.