$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : Généralités sur les espaces vectoriels

$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
Structure d'espace vectoriel

On appelle espace vectoriel sur $\mathbb K$ (ou $\mathbb K$-espace vectoriel) un ensemble $E$ muni de deux lois :

  • une loi interne, notée $+$, telle que $(E,+)$ soit un groupe commutatif. L'élément nul est noté $0_E$.
  • une loi externe, notée $\cdot$, qui est une application de $\mathbb K\times E$ dans $E$ vérifiant :
    1. $\forall (\alpha,\beta)\in\mathbb K^2,\ \forall x\in E,\ (\alpha+\beta)\cdot x=\alpha \cdot x+\beta \cdot x$.
    2. $\forall \alpha\in\mathbb K,\ \forall (x,y)\in E^2,\ \alpha\cdot(x+y)=\alpha\cdot x+\alpha\cdot y$.
    3. $\forall (\alpha,\beta)\in\mathbb K^2,\ \forall x\in E,\ \alpha\cdot(\beta\cdot x)=(\alpha\beta)\cdot x$.
    4. $\forall x\in E,\ 1\cdot x=x$.

Les éléments de $E$ sont appelés des vecteurs et les éléments de $\mathbb K$ sont appelés des scalaires.

Exemples : $\mathbb K^n$, $\mathbb K[X]$, $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ sont des espaces vectoriels. Si $A$ est un ensemble, l'ensemble $\mathcal F(A,\mathbb K)$ des fonctions de $A$ dans $\mathbb K$ est lui aussi un espace vectoriel. En particulier, l'ensemble des suites à valeurs réelles (resp. à valeurs complexes) est un $\mathbb R$-espace vectoriel (resp. un $\mathbb C$-espace vectoriel).

Proposition : Soit $E_1,\dots, E_n$ des $\mathbb K$-espaces vectoriels. Alors le produit cartésien $E_1\times\dots\times E_n$, muni de l'addition $$(x_1,\dots,x_n)+(y_1,\dots,y_n)=(x_1+y_1,\dots,x_n+y_n)$$ et de la multiplication externe $$\lambda\cdot (x_1,\dots,x_n)=(\lambda x_1,\cdots,\lambda x_n)$$ est un $\mathbb K$-espace vectoriel.
Famille de vecteurs

Dans cette partie, $E$ désigne un espace vectoriel sur $\mathbb K$.

Une combinaison linéaire de la famille finie de vecteurs $(x_1,\dots,x_n)$ de $E$ est un vecteur $x\in E$ s'écrivant $x=\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i$ où les $\alpha_i$ sont des éléments de $\mathbb K$. Une combinaison linéaire d'une famille quelconque $(x_i)_{i\in I}$ est un vecteur $x$ s'écrivant $x=\sum_{i\in I}\alpha_i x_i$ où tous les $\alpha_i$, sauf un nombre fini, sont nuls.

Une famille finie de vecteurs $(x_1,\dots,x_n)$ est libre si, pour tout choix de $\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb K$, $$\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i=0\implies \forall i\in\{1,\dots,n\},\ \alpha_i=0.$$

Une famille quelconque de vecteurs est libre si toute sous-famille finie extraite est libre.

Une famille qui n'est pas libre est une famille liée.

Exemple : Soit $(P_1,\dots,P_n)$ une famille de $\mathbb K[X]$ avec $\deg(P_1)<\deg(P_2)<\dots<\deg(P_n)$. Alors $(P_1,\dots,P_n)$ est une famille libre.

Une famille $(x_i)_{i\in I}$ est génératrice de $E$ si tout vecteur de $E$ est combinaison linéaire des $(x_i)_{i\in I}$.

Propriétés des familles libres et génératrices : Soit $X$ et $Y$ deux familles de vecteurs de $E$ avec $X\subset Y$.
  • si $Y$ est libre, alors $X$ est libre;
  • si $X$ est génératrice, alors $Y$ est génératrice.
  • si $X$ est une famille génératrice, et si $x\in X$ est combinaison linéaire des vecteurs de $X\backslash\{x\}$, alors $X\backslash \{x\}$ est une famille génératrice.
  • si $X$ est une famille libre, et si $x\in E$ n'est pas combinaison linéaire des vecteurs de $X$, alors $X\cup\{x\}$ est libre.
Sous-espaces vectoriels

Dans cette partie, $E$ désigne un espace vectoriel sur $\mathbb K$.

Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si $F$ est non-vide et si $F$ est stable par $+$ et $\cdot$. Dans ce cas, $F$ est lui-même un espace vectoriel.

Caractérisation des sous-espaces vectoriels : Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si les 3 propriétés suivantes sont vérifiées :
  1. $0_E\in F$;
  2. Pour tout $(x,y)\in F^2$, $x+y\in F$;
  3. Pour tout $x\in F$ et tout $\lambda\in \mathbb K$, $\lambda\cdot x\in F$.

Exemples :

  • $\{0\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$;
  • dans $\mathbb R^2$, toute droite vectorielle (passant par l'origine) est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^2$;
  • dans $\mathbb R^3$, toute droite vectorielle (passant par l'origine), tout plan vectoriel est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^3$;
  • pour $n\geq 0$, l'ensemble $\mathbb K_n[X]$ des polynômes de degré au plus $n$ est un sous-espace de $\mathbb K[X]$;
  • l'ensemble des matrices symétriques d'ordre $n$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal M_n(\mathbb K)$.
Proposition : L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène de $p$ équations à $n$ inconnues est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^n$.
Proposition : L'intersection de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel.
Proposition et définition : Si $X$ est une partie de $E$, il existe un sous-espace vectoriel de $E$ contenant $X$ qui est le plus petit possible (pour l'inclusion). On l'appelle le sous-espace engendré par $X$ et on le note $\textrm{vect}(X)$. Si $X=\{x_1,\dots,x_n\}$, alors $\vect(X)$ est l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs $x_1,\dots,x_n$ : $$\vect(x_1,\dots,x_n)=\left\{\sum_{i=1}^n \alpha_i x_i:\ \alpha_i\in \mathbb K\right\}.$$

En particulier, on a les propriétés suivantes :

  • si $X\subset Y$, alors $\vect(X)\subset \vect(Y)$;
  • si $F$ est un sous-espace vectoriel contenant $X$, alors $\vect(X)\subset F$;
  • l'espace $\vect(u_1,\dots,u_n)$ est inchangé si on ajoute à un des vecteurs $u_i$ une combinaison linéaire des autres vecteurs;
  • $\vect(u_1,\dots,u_n,0)=\vect(u_1,\dots,u_n)$;
  • si $u_n$ est combinaison linéaire de $u_1,\dots,u_{n-1}$, alors $\vect(u_1,\dots,u_n)=\vect(u_1,\dots,u_{n-1})$.
Proposition : Soit $X$ une famille de vecteurs de $E$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Alors $$\vect(X)\subset F\iff \forall u\in X,\ x\in F.$$
Somme de sous-espaces vectoriels
  • Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. On appelle somme de $F$ et $G$ l'espace vectoriel noté $F+G$ défini par $$F+G=\{x+y;\ x\in F,\ y\in G\}.$$
  • Deux sous-espaces $F$ et $G$ sont en somme directe si la décomposition de tout vecteur de $F+G$ comme somme d'un vecteur de $F$ et d'un vecteur de $G$ est unique. On note alors $F\oplus G$.
  • Proposition : Deux sous-espaces $F$ et $G$ sont en somme directe si et seulement si $F\cap G=\{0\}$.
  • On dit que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ s'ils sont en somme directe et si $F\oplus G=E$.
  • Plus généralement, on définit la somme de $p$ sous-espaces vectoriels $F_1,\dots,F_p$ de $E$ par $$F_1+\cdots+F_p=\{x_1+\dots+x_p;\ x_1\in F_1,\dots,x_p\in F_p\}.$$ C'est un sous-espace vectoriel de $E$.
  • La somme $F_1+\cdots+F_p$ est directe si la décomposition de tout vecteur de $F_1+\cdots+F_p$ sous la forme $x_1+\dots+x_p$ avec $x_i\in F_i$ est unique. Ceci revient à dire que si $x_1+\dots+x_p=0_E$ avec $x_i\in F_i$, alors $x_i=0$.
  • Attention! On ne peut pas caractériser le fait que $F_1,\dots,F_p$ soient en somme directe en vérifiant que $F_i\cap F_j=\{0_E\}$ si $i\neq j$.
Applications linéaires
  • Une application $f:E\to F$ est appelée une application linéaire si, pour tous $x,y\in E$ et tous $\lambda,\mu\in \mathbb K$, on a $$f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y).$$ On note $\mathcal L(E,F)$ l'ensemble des applications linéaires de $E$ dans $F$, et $\mathcal L(E)$ si $E=F$. Une application linéaire de $E$ dans $E$ s'appelle aussi un endomorphisme de $E$.
  • Toute combinaison linéaire d'applications linéaires est linéaire. La composée d'applications linéaires est linéaire.
  • On dit qu'une application linéaire $f:E\to F$ est un isomorphisme si elle est bijective. La réciproque d'un isomorphisme est linéaire.
  • L'image directe d'un sous-espace vectoriel de $E$ par une application linéaire est un sous-espace vectoriel de $F$. L'image réciproque d'un sous-espace vectoriel de $F$ par une application linéaire est un sous-espace vectoriel de $E$.
  • On appelle noyau de l'application linéaire $f\in\mathcal L(E,F)$ le sous-espace vectoriel de $E$ $$\ker(f)=\{x\in E;\ f(x)=0\}.$$
  • Théorème : $f\in\mathcal L(E,F)$ est injective si et seulement si $\ker(f)=\{0\}$.
  • On appelle image de l'application linéaire $f\in\mathcal L(E,F)$ le sous-espace vectoriel de $F$ $$\imv(f)=\{f(x);\ x\in E\}.$$
  • Si $(x_i)_{i\in I}$ est une famille génératrice de $E$, alors $\imv(f)=\textrm{vect}(f(x_i);\ i\in I\}$.
Symétries et projections
  • Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires de $E$. On appelle projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ l'application linéaire $p$ définie sur $E$ par $p(z)=x$ où $z\in E$ se décompose uniquement en $z=x+y$ avec $x\in F$ et $y\in G$. On a alors $\imv( p)=F$ et $\ker( p)=G$.
  • Caractérisation des projecteurs : Un endomorphisme $p\in\mathcal L(E)$ est un projecteur si et seulement si $p\circ p=p$. L'application $p$ est alors le projecteur sur $\imv( p)$ parallèlement à $\ker( p)$.
  • Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires de $E$. On appelle symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$ l'application linéaire $s$ définie sur $E$ par $s(z)=x-y$ où $z\in E$ se décompose uniquement en $z=x+y$ avec $x\in F$ et $y\in G$. On a alors $\ker( s-Id_E)=F$ et $\ker( s+Id_E)=G$.
  • Caractérisation des symétries : Un endomorphisme $s\in\mathcal L(E)$ est une symétrie si et seulement si $s\circ s=Id_E$. L'application $s$ est alors la symétrie par rapport à $\ker( s-Id_E)$ parallèlement à $\ker( s+Id_E)$.