Résumé de cours : dérivabilité

Nombre dérivé et fonction dérivée

La fonction $f:I\to\mathbb R$ est dérivable en $a\in I$ si le taux d'accroissement $\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite quand $x$ tend vers $a$. Dans ce cas, la limite est notée $f'(a)$.

Une fonction $f:I\to\mathbb R$ est donc dérivable en $a$ si et seulement s'il existe $\alpha\in\mathbb R$ et une fonction $\veps$ définie dans un intervalle $J$ ouvert contenant $0$, vérifiant $\lim_{h\to 0}\veps(h)=0$ tels que $$\forall h\in J,\ f(a+h)=f(a)+\alpha h+h\veps(h).$$ Dans ce cas, on a $\alpha=f'(a)$ et on dit que $f$ admet un développement limité d'ordre 1 en $a$.

Proposition : si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.

Si $f$ est dérivable en $a$, la droite d'équation $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ s'appelle la tangente à la courbe représentative de $f$ en $a$.

On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si $f$ est dérivable en tout point de $I$. $f'$ s'appelle alors la fonction dérivée de $f$. On parle de dérivée à droite (resp. de dérivée à gauche) lorsque la limite à droite (resp. à gauche) du taux d'accroissement admet une limite.

On peut réaliser les opérations suivantes sur les fonctions dérivables :

Somme et produit : Soient $I$ un intervalle et $f,g:I\to\mathbb R$ dérivables. Alors $f+g$ et $fg$ sont dérivables, et $$(f+g)'=f'+g'$$ $$(fg)'=f'g+fg'.$$
Quotient : Soient $f,g:I\to\mathbb R$ deux fonctions dérivables en $a\in I$. Si de plus $g(a)\neq 0$, alors $f/g$ est dérivable en $a$ et $$\left(\frac f g\right)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{\big(g(a)\big)^2}.$$
Composée : Soient $I,J$ deux intervalles de $\mathbb R$, $f:I\to J$, $g:J\to\mathbb R$, $a\in I$, $b\in J$ avec $b=f(a)$. On suppose que $f$ est dérivable en $a$ et $g$ est dérivable en $b$. Alors $g\circ f$ est dérivable en $a$ et $$(g\circ f)'(a)=f'(a)g'(f(a)).$$
Réciproque : Si $f:I\to\mathbb R$ est dérivable et vérifie $f'>0$ (resp. $f'<0$) sur $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)=J$, la réciproque $f^{-1}:J\to\mathbb R$ est dérivable et, pour tout $b\in J$, $$(f^{-1})'(b)=\frac 1{f'(f^{-1}(b))}.$$ En particulier, les tangentes en $(a,f(a))$ à $C_f$ et en $(f(a),a)$ à $C_{f^{-1}}$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.

Théorème de Rolle, des accroissements finis, application aux variations

Soit $I$ un intervalle, $a\in I$ et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ admet un

minimum local en $a$ s'il existe $\alpha>0$ tel que $$\forall x\in I\cap ]a-\alpha,a+\alpha[,\ f(x)\geq f(a).$$
maximum local en $a$ s'il existe $\alpha>0$ tel que $$\forall x\in I\cap ]a-\alpha,a+\alpha[,\ f(x)\leq f(a).$$
extremum local en $a$ si elle admet un maximum ou un minimum local en $a$.

Proposition : Soit $I$ un intervalle ouvert, $a\in I$ et $f:I\to\mathbb R$ dérivable en $a$. Alors si $f$ admet un extrémum local en $a$, on a $f'(a)=0$.

Théorème de Rolle : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ et telle que $f(a)=f(b)$. Alors il existe $c$ appartenant à $]a,b[$ tel que $$f'( c)=0.$$

Théorème des accroissements finis : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue sur $[a,b]$, et dérivable sur $]a,b[$. Alors il existe $c$ appartenant à $]a,b[$ tel que $$f(b)-f(a)=f'( c)(b-a).$$

Inégalité des accroissements finis : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue sur $[a,b]$, et dérivable sur $]a,b[$. On suppose de plus qu'il existe $M>0$ tel que, pour tout $t\in ]a,b[$, $|f'(t)|\leq M$. Alors : $$|f(b)-f(a)|\leq M|b-a|.$$

Théorème (application à l'étude du sens de variation des fonctions) : Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction dérivable. Alors

$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'\geq 0$ sur $I$.
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'\leq 0$ sur $I$.
$f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f'= 0$ sur $I$.
$f$ est strictement croissante sur $I$ si et seulement si $f'\geq 0$ sur $I$ et $f'$ ne s'annule pas sur un intervalle non réduit à un point.
$f$ est strictement décroissante sur $I$ si et seulement si $f'\leq 0$ sur $I$ et $f'$ ne s'annule pas sur un intervalle non réduit à un point.

En particulier, si $f'> 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante.

Dérivées successives

Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction dérivable. Sa dérivée $f'$ peut elle-même être dérivable. On appelle alors cette dérivée la dérivée seconde de $f$ et on la note $f''$. En itérant ce procédé, on peut définir la dérivée $n$-ième de $f$, notée $f^{(n)}$.

On dit que $f$ est de classe $C^n$ sur $I$ si elle admet une dérivée d'ordre $n$ notée $f^{(n)}$ et si cette dérivée est elle-même continue sur $I$. On dit que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $I$ si elle admet des dérivées successives de tout ordre.

Si $f,g:I\to\mathbb R$ sont de classe $C^n,$ alors pour tout $\lambda\in\mathbb R,$ $\lambda f+g,\ f\star g,\ f/g$ (à condition pour cette dernière que $g$ ne s'annule pas) sont de classe $C^n$ sur $I.$ En particulier, pour le produit, le résultat suivant donne une formule pour la dérivée $n$-ième du produit.

Formule de Leibniz : Soient $f,g:I\to\mathbb R$ deux fonctions $n$ fois dérivables sur $I$. Alors $fg$ est $n$ fois dérivable sur $I$ et \begin{eqnarray*} (fg)^{(n)}&=&\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}f^{(n-k)}g^{(k)}\\ &=&f^{(n)}g+\binom n1 f^{(n-1)}g'+\binom n2 f^{(n-2)}g''+\dots+\binom nkf^{(n-k)}g^{(k)}+\dots+fg^{(n)} \end{eqnarray*}

On peut aussi prouver que la réciproque d'une fonction de classe $C^n$, bijective, est aussi de classe $C^n.$

Théorème : Si $f:I\to\mathbb R$ est de classe $C^n$ sur $I$ est telle que $f'$ ne s'annule pas sur $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J=f(I)$ et $f^{-1}$ est de classe $C^n$ sur $J$.

Fonctions à valeurs complexes

La définition de fonctions dérivables s'étend à une fonction à valeurs complexes. On démontre que $f:I\to\mathbb C$ est dérivable si et seulement $\Re e(f)$ et $\Im m(f)$ sont dérivables.

Le théorème de Rolle et l'égalité des accroissements finis sont faux pour des fonctions à valeurs dans $\mathbb C$. En revanche, l'inégalité des accroissements finis reste vraie.