Résumé de cours : comparaison de suites et de fonctions

Relations de domination, de négligeabilité, d'équivalence

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels. On supposera que $(v_n)$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang.

On dit que $(u_n)$ est dominée par $(v_n)$ si la suite $\displaystyle \left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ est bornée. Autrement dit, s'il existe un réel $M$ et un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, on a $|u_n|\leq M|v_n|$. On note $$u_n=O(v_n).$$
On dit que $(u_n)$ est négligeable devant $(v_n)$ si la suite $\displaystyle \left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ tend vers 0. On note $$u_n=o(v_n).$$
On dit que $(u_n)$ est équivalente à $(v_n)$ si la suite $\displaystyle \left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ tend vers 1. On note $$u_n\sim v_n.$$
On a $u_n\sim v_n$ si et seulement si $u_n-v_n=o(v_n)$ si et seulement si $u_n-v_n=o(u_n)$.
Si deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont équivalentes, alors elles ont le même signe à partir d'un certain rang.
Si deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont équivalentes, alors l'une converge si et seulement si l'autre converge. Dans ce cas, leurs limites sont égales.
Règles de calcul pour les équivalents : Soient $(u_n)$, $(v_n)$, $(x_n)$ et $(y_n)$ quatre suites :
- si $u_n\sim v_n$ et $x_n\sim y_n$, alors $u_nx_n\sim v_ny_n$.
- si $u_n\sim v_n$ et $x_n\sim y_n$, alors $\frac{u_n}{x_n}\sim \frac{v_n}{y_n}$.
- si $u_n\sim v_n$ et $p\in\mathbb Z$, alors $u_n^p\sim v_n^p$.
Attention! En général, on ne peut pas ajouter des équivalents!
Règles de calcul pour la relation de négligeabilité : Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites :
- si $u_n=o(w_n)$ et $v_n=o(w_n)$, alors $\alpha u_n+\beta v_n=o(w_n)$.
- si $u_n=o(v_n)$ et $v_n=o(w_n)$, alors $u_n=o(w_n)$.
- si $u_n=o(w_n)$, alors $u_nv_n=o(w_nv_n)$.

Relation de domination, de négligeabilité, d'équivalence : cas des fonctions

Soit $I$ un intervalle ouvert, $f,g:I\to\mathbb R$ et soit $a$ une extrémité de $I$ (éventuellement, $a=\pm \infty$). On suppose que $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$.

On dit que $f$ est dominée par $g$ au voisinage de $a$ s'il existe un intervalle ouvert $J$ dont $a$ est une extrémité ($J$ est de la forme $]A,+\infty[$ si $a=+\infty$) et un réel $M>0$ telle que $$\forall x\in J,\ \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|\leq M.$$ On note $$f=_aO(g)\textrm{ ou }f(x)=_a O(g(x)).$$

On dit que $f$ est négligeable devant $g$ si la fonction $\displaystyle \frac fg$ tend vers 0 en a. On note $$f=_ao(g)\textrm{ ou }f(x)=_a o(g(x)).$$

On dit que $f$ est équivalente à $g$ si la fonction $\displaystyle \frac fg$ tend vers 1 en $a$. On note $$f\sim_a g\textrm{ ou }f(x)\sim_a g(x).$$ Ceci revient à dire que $f(x)=_a g(x)+o(g(x))$.

Équivalents usuels

Proposition : Soit $u:I\to\mathbb R$ et $a\in I$. Si $u$ est dérivable en $a$ et si $u'(a)\neq 0$, alors $u(x)-u(a)\sim_a u'(a)(x-a)$.
On en déduit les équivalents usuels suivants : $$\begin{array}{lll} \sin x\sim_0 x&\quad&\ln(1+x)\sim_0 x\\ 1-\cos x\sim_0 \frac{x^2}2&\quad&e^x-1\sim_0 x\\ (1+x)^\alpha-1\sim_0 \alpha x. \end{array}$$

Croissances comparées

Comparaison des suites logarithmiques, puissance, exponentielle Pour tous $\alpha,\beta,\gamma>0$, on a $$\ln^\beta (n)=o(n^\alpha)\textrm{ et }n^\alpha=o(e^{\gamma n}).$$
Comparaison des fonctions puissance Soient $\alpha,\beta\in\mathbb R$.
1. On a $x^\alpha=_0o(x^\beta)$ si et seulement si $\alpha>\beta$;
2. On a $x^\alpha=_{+\infty}o(x^\beta)$ si et seulement si $\alpha<\beta$;