Préparer sa kholle - Suites de nombres réels ou complexes

Etudier les suites $(u_n)$ définies par $$\begin{array}{lcl} \displaystyle 1.\ \sum_{k=1}^n \frac{n}{n+k}&&\displaystyle 2.\ u_n=\sum_{k=0}^{2n+1}\frac n{n^2+k}. \end{array}$$

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles convergeant respectivement vers $l$ et $l'$.

1. On suppose que $l=l'$. Montrer que la suite $(\min(u_n,v_n))$ converge vers $l=\min(l,l')$.
2. On suppose que $l<l'$.
   1. Montrer qu'il existe un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, on a $u_n\leq v_n$.
   2. En déduire que la suite $(\min(u_n,v_n))$ converge vers $l=\min(l,l')$.

Étudier la nature des suites suivantes, et déterminer leur limite éventuelle : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{\ln(n!)}n&&\displaystyle\mathbf 2.\ u_n=\frac{\lfloor nx\rfloor}{n^\alpha}\textrm{ en fonction de }x,\alpha\in\mathbb R\\ \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^n k! \end{array}$$