Préparer sa kholle - Nombres réels

L'idée est très simple. Entre deux carrés parfaits consécutifs, la valeur de $\lfloor \sqrt k\rfloor $ est connue. Plus précisément, si $n^2\leq k<(n+1)^2$, alors $\lfloor \sqrt k\rfloor =n$. De plus, entre deux carrés parfaits consécutifs, il y a exactement $(n+1)^2-n^2=2n+1$ entiers. Enfin, le plus grand carré inférieur ou égal à 2010 est $44^2=1936$. On a donc \begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{2010}\lfloor \sqrt k\rfloor &=&\sum_{n=1}^{43}\sum_{k=n^2}^{(n+1)^2-1}\lfloor \sqrt k\rfloor +\sum_{k=1936}^{2010}\lfloor \sqrt k\rfloor \\ &=&\sum_{n=1}^{43} n(2n+1)+(2010-1936+1)\times 44. \end{eqnarray*} On calcule ces sommes, sachant que $\sum_{n=1}^p n^2=\frac{p(p+1)(2p+1)}{6}$ et on trouve finalement que la somme fait 59114.