Préparer sa kholle - Nombres réels et études de fonctions

Posons, pour $x\neq 1$, $$f(x)=\ln(1+|x|)-\frac 1{x-1}=\ln(1+|x|)+\frac{1}{1-x}.$$ L'équation initiale est équivalente à l'équation $f(x)=0$. Remarquons que si $x<1$, alors $f(x)> 0$ et donc l'équation $f(x)=0$ n'admet pas de solutions dans l'intervalle $]-\infty,1[$. Nous allons ensuite étudier la fonction $f$ sur l'intervalle $]1,+\infty[$. Elle y est dérivable et $$f'(x)=\frac 1{1+x}+\frac{1}{(1-x)^2}>0.$$ La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]1,+\infty[$. De plus, on a $$\lim_{x\to 1^+}f(x)=-\infty,\ \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty\textrm{ et }f(2)=\ln(3)-1>0.$$ $f$, qui est de plus continue, réalise une bijection de l'intervalle $]1,+\infty[$ sur $\mathbb R$. L'équation admet donc une unique solution $\alpha$ dans $]1,+\infty[$; le calcul de $f(2)$ et de la limite de $f$ en $1$ permettent de conclure que $1<\alpha<2$.

Le point de départ est de remarquer que $$n^p=p^n\iff p\ln n=n\ln p\iff \frac{\ln n}n=\frac{\ln p}p.$$ Ceci nous amène à étudier la fonction $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x)=\frac{\ln x}x$. Cette fonction est dérivable sur son domaine de définition, de dérivée $$f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}.$$ On obtient le tableau de variations suivant : La fonction est donc strictement croissante sur $[1,e]$, et strictement décroissante sur $[e,+\infty[$. Si les entiers naturels $(n,p)$ vérifient $f(n)=f(p)$, l'un de ces deux entiers, disons $n$, doit être dans $[1,e]$, et l'autre doit être dans $[e,+\infty[$. Or, dans $[1,e]$, il n'y a que deux entiers : $n=1$ et $n=2$. Pour $n=1$, $f(1)=0$, et la valeur nulle n'est pas prise par la fonction $f$ sur $[e,+\infty[$. Pour $n=2$, on a $f(2)=(\ln 2)/2=f(4)$. La seule solution pour cette équation est donc $$2^4=4^2.$$