Préparer sa kholle - Equations différentielles

L'exercice qu'il faut savoir faire

Exercice 1

- Équations du second ordre à coefficients constants - second membre polynômial [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Résoudre les équations différentielles suivantes :

$y''-3y'+2y=1$;
$y''-2y'+y=x$, $y(0)=y'(0)=0$;
$y''+9y=x+1$, $y(0)=0$.

Indication

Corrigé

L'équation caractéristique est $r^2-3r+2=0$, dont les solutions sont $r=1$ et $r=2$. Les solutions de l'équation homogène sont donc les fonctions $x\mapsto \lambda e^x+\mu e^{2x}$, $\lambda,\mu\in\mathbb R$. Il est ensuite facile de voir que la fonction constante $y=1/2$ est solution de l'équation. Finalement, les solutions de l'équation sont les fonctions $x\mapsto \frac 12+\lambda e^x+\mu e^{2x}$, $\lambda,\mu\in\mathbb R$.
On commence par résoudre l'équation homogène $y''-2y'+y=0$. Son équation caractéristique est $r^2-2r+1=0$, dont 1 est racine double. Les solutions générales de l'équation homogène sont donc les fonctions $$x\mapsto \lambda e^x+\mu xe^x.$$ Comme 0 n'est pas racine de l'équation caractéristique, on va chercher une solution particulière sous la forme d'un polynôme de degré 1. Mais $y(x)=ax+b$ est solution de l'équation différentielle si et seulement si : $$\forall x\in\mathbb R,\ -2a+ax+b=x\iff \forall x\in\mathbb R, (a-1)x+(b-2a)=0.$$ Un polynôme réel étant identiquement nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls, on en déduit que $a=1$ et $b=2$. Les solutions de l'équation sont donc les fonctions de la forme $$x\mapsto \lambda e^x+\mu xe^x+(x+2).$$ Si on ajoute les conditions $y(0)=y'(0)=0$, on obtient les équations $$\lambda+2=0\textrm{ et }\lambda+\mu+1=0,$$ soit $\lambda=-2$ et $\mu=1$. La seule solution de l'équation est donc la fonction $$x\mapsto (x-2)e^x+(x+2).$$
L'équation homogène $y''+9y=0$ admet pour équation caractéristique associée $r^2+9=0$, dont les racines sont $3i$ et $-3i$. Les solutions réelles de l'équation homogène sont donc les fonctions de la forme $t\mapsto\cos(3x)$ et $t\mapsto \sin(3x)$. On cherche une solution particulière sous la forme d'un polynôme de degré 1, et on trouve $x\mapsto \frac{x+1}9$. Les solutions de l'équation différentielle sont donc les fonctions de la forme $$x\mapsto A\cos(3x)+B\sin(3x)+\frac{x+1}9.$$ La condition $y(0)=0$ entraîne $A=-1/9$.

L'exercice standard

Exercice 2

- Recherche de courbes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Trouver les courbes d'équation $y=f(x)$, avec $f$ de classe $C^1$ sur l'intervalle $]0,+\infty[$ vérifiant la propriété géométrique suivante : si $M$ est un point quelconque de la courbe, $T$ l'intersection de la tangente à la courbe en $M$ avec l'axe $(Ox)$, et $P$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(Ox)$, alors $O$ est le milieu de $[PT]$.

Indication

Corrigé

L'exercice pour les héros

Exercice 3

- Comportement à l'infini d'une solution [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Prouver que toute solution de l'équation différentielle $y'+e^{x^2}y=0$ admet une limite nulle en $+\infty$.

Indication

Corrigé