$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Oraux de concours : Exercices sur les variables aléatoires discrètes

Mines/Ponts
Enoncé
Soient $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$. Soit $$A=\left(\begin{array}{cc} X_1&1\\0&X_2\end{array}\right).$$ Quelle est la probabilité que $A$ soit diagonalisable?
Indication
Corrigé
Centrale
Exercice 2 - Tirages en changeant la composition de l'urne (d'après Centrale) [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une urne contient $a>0$ boules vertes et $b>0$ boules rouges. On pose $N=a+b$. On réalise des tirages successifs en suivant le protocole suivant : si on tire une boule rouge, on la remet dans l'urne. Si on tire une boule verte, on la remplace dans l'urne par une boule rouge. Pour $k\geq 1$ on note $T_k$ la variable aléatoire égale à $1$ si le $k$-ème tirage donne une boule verte et à $0$ si le $k$-ème tirage donne une boule rouge. On note aussi $X_k$ la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes tirées lors des $k$ premiers tirages.
  1. Déterminer la loi de $T_1$ et la loi de $T_2$.
  2. Soit $n\in\mathbb N^*$. Démontrer que $$P(T_{n+1}=1)=\frac{a-E(X_n)}{N}.$$ En déduire que $$P(T_n=1)=a\frac{(N-1)^{n-1}}{N^n}.$$
  3. Calculer $E(X_n)$ puis déterminer sa limite.
Indication
Corrigé
CCINP
Exercice 3 - Loi d'une somme par la fonction génératrice (d'après INP) [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Un sac contient quatre boules indiscernables au toucher : une boule numérotée 0, deux boules numérotées 1 et une boule numérotée 2. Soit $n\in\mathbb N^*.$ On effectue $n$ tirages successifs, avec remise, d’une boule dans ce sac. On note $S_n$ la somme des numéros tirés. Déterminer la fonction génératrice $G_{S_n}$ de $S_n$, puis en déduire la loi de $S_n.$
Indication
Corrigé
École Navale
Exercice 4 - Loi de la différence (d'après École Navale) [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$. Déterminer la loi et l'espérance de $Z=|X-Y|$.
Indication
Corrigé