Oraux de concours : Exercices sur les variables aléatoires discrètes

Exercice 1 - Variables aléatoires décomposables (d'après Oral ENS) ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Une variable aléatoire discrète $X$ à valeurs dans $\mathbb N$ est dite décomposable s'il existe deux variables aléatoires discrètes à valeurs dans $\mathbb N$ indépendantes $X_1$ et $X_2,$ non presque sûrement constantes, telles que $X=X_1+X_2.$

Une variable aléatoire de Bernoulli est-elle décomposable ? Une variable aléatoire binomiale est-elle décomposable ?
Montrer que le polynôme $T^4+2T+1$ ne peut se factoriser comme produit de deux polynômes de degré $2$ à coefficients dans $\mathbb R_+$. En déduire une variable aléatoire réelle discrète décomposable $X$ telle que $X^2$ ne soit pas décomposable.
Soit $n\geq 3$ un entier qui n'est pas premier et soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\{0,\dots,n-1\}$. Démontrer que $X$ est décomposable.

Indication

Corrigé

Soit $X$ une variable aléatoire de Bernoulli. Si elle était décomposable et s'écrivait $X_1+X_2$, alors soit $a<b$ et $c<d$ telles que $P(X_1=a)\neq 0,$ $P(X_1=b)\neq 0,$ $P(X_2=c)\neq 0$ et $P(X_2=d)\neq 0$ (les variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ ne peuvent pas être presque sûrement constantes). Alors $P(X=a+c)>0,$ $P(X=a+d)>0$ et $P(X=b+d)>0$ et $a+c,$ $a+d$ et $b+d$ sont 3 réels différents. Ceci contredit que $X$ ne prend que deux valeurs.
Si $X$ suit une loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ avec $n\geq 2$, alors $X$ est décomposable : elle s'écrit $X=X_1+X_2$ où $X_1$ et $X_2$ sont deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois binomiales respectives $\mathcal B(n_1,p)$ et $\mathcal B(n_2,p)$ avec $n=n_1+n_2$ (et $n_1,n_2\geq 1$).
Si le polynôme $T^4+2T+1$ se factorise en $(T^2+aT+b)(T^2+cT+d)$ avec $a,b,c,d\geq 0$, alors on doit avoir $0=a+c$ (coefficient devant $T^3$) et donc $a=c=0$. Le coefficient devant $T^2$ est alors $b+d$ et doit être nul, d'où $b=d=0$. Avec un raisonnement identique, on prouve que $T^4+2T+1$ ne peut pas se factoriser un produit d'un polynôme de degré $3$ et d'un polynôme de degré $1$ à coefficients dans $\mathbb R_+$ (ou alors on peut remarquer que $T^4+2T+1$ n'a pas de racines dans $\mathbb R).$
Considérons alors une variable aléatoire $X$ qui suit une loi binomiale $\mathcal B(2,1)$. Elle est décomposable. De plus, $P(X^2=4)=1/4,$ $P(X^2=1)=1/2$ et $P(X^2=0)=1/4.$ Ainsi, la fonction génératrice de $X^2$ est $$G_{X^2}(t)=\frac14 (t^4+2t+1).$$ Si $X^2$ était décomposable et s'écrivant $X^2=Y_1+Y_2,$ alors on aurait $$G_{X^2}(t)=G_{Y_1}(t)G_{Y_2}(t)$$ où $G_{Y_1}$ et $G_{Y_2}$ sont des polynômes à coefficients dans $\mathbb R_+.$ C'est impossible d'après la première partie de la question.
Écrivons $n=km$ avec $1<k,m<n.$ Considérons $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $X_1$ suit une loi uniforme sur $\{0,k,\dots,(m-1)k\}$ et $X_2$ suit une loi uniforme sur $\{0,1,\dots,k-1\}$ et posons $Y=X_1+X_2.$ Alors $Y$ prend toutes les valeurs du type $\ell k+j,$ avec $0\leq \ell\leq m-1$ et $0\leq j\leq k-1.$ Mais par la division euclidienne, tout élément de $\{0,\dots,n-1\}$ s'écrit justement de façon unique sous cette forme. Et donc $Y$ prend ses valeurs dans $\{0,\dots,n-1\}.$ De plus, $$P(Y=\ell k+j)=P(X_1=\ell k)\times P(X_2=j)=\frac{1}m\times \frac 1k=\frac 1n.$$ Ainsi, $Y$ suit bien une loi uniforme sur $\{0,\dots,n-1\}$ et $X=X_1+X_2$ est décomposable.
On peut démontrer la réciproque de cette propriété : si $n\geq 3$ est premier et $X$ suit la loi uniforme sur $\{0,\dots,n-1\}$, alors $X$ n'est pas décomposable. Mais c'est difficile - sauf si vous trouvez une solution facile que je serais ravi de lire !

Exercice 2 - Diagonalisable? ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soient $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$. Soit $$A=\left(\begin{array}{cc} X_1&1\\0&X_2\end{array}\right).$$ Quelle est la probabilité que $A$ soit diagonalisable?

Indication

Corrigé

Exercice 3 - Convergence en probabilité du produit, d'après oral Mines/Ponts MP ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ un espace probabilisé, $X$ et $Y$ des variables aléatoires discrètes, et $(X_n)_n$, $(Y_n)_n$ des suites de variables aléatoires discrètes. On note $(\star)$ la condition suivante : \[ \forall \epsilon > 0 \quad \mathbb{P}(|X_n - X| \geq \epsilon) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \quad \text{et} \quad \mathbb{P}(|Y_n - Y| \geq \epsilon) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \quad (\star) \]

Soit $x, y$ réels et $\epsilon > 0$. Justifiez l'implication : \[ |x + y| \geq \epsilon \implies |x| \geq \frac{\epsilon}{2} \text{ ou } |y| \geq \frac{\epsilon}{2}. \]
On suppose la condition $(\star)$ satisfaite. Établir : \[ \forall \epsilon > 0 \quad \mathbb{P}(|X_n + Y_n - (X + Y)| \geq \epsilon) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0. \]
Application : Soit $(U_n)_n$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi $\mathcal{B}(p)$, avec $p \in [0;1]$ et $V_n = U_n + U_{n+1}$, pour tout $n$ entier. Établir : \[ \forall \epsilon > 0 \quad \mathbb{P}\left(\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n V_i - 2p\right| \geq \epsilon\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0. \]
Soit $X$ une variable aléatoire réelle discrète. Établir : \[ \mathbb{P}(|X| > M) \xrightarrow[M \to +\infty]{} 0. \]
On suppose la condition $(\star)$ satisfaite. Établir : \[ \forall \epsilon > 0 \quad \mathbb{P}(|X_n Y_n - XY| \geq \epsilon) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0. \]

Indication

Corrigé

On procède par contraposée. Si $|x|<\veps/2$ et $|y|<\veps/2,$ alors par l'inégalité triangulaire $|x+y|<\veps.$
On écrit $$|(X_n+Y_n)-(X+Y)|=|(X_n-X)+(Y_n-Y)|.$$ Par la question précédente, l'événement $|(X_n+Y_n)-(X+Y)|\geq \veps$ est inclus dans la réunion des deux événements $|X_n-X|\geq\veps/2$ et $|Y_n-Y|\geq\veps/2.$ Ainsi, on a $$P(|(X_n+Y_n)-(X+Y)|\geq\veps)\leq P(|X_n-X|\geq\veps/2)+P(|Y_n-Y|\geq\veps/2)$$ et donc, en passant à la limite, par le théorème des gendarmes, on obtient bien le résultat voulu.
Posons $X_n=\frac 1n\sum_{i=1}^n U_i,$ $Y_n=\frac 1n\sum_{i=2}^{n+1}U_i,$ et $X=Y=p$ des variables aléatoires constantes. Par la loi faible des grands nombres, on sait que pour tout $\veps>0,$ $P(|X_n-p|\geq \veps)$ et $P(|Y_n-p|\geq \veps)$ tendent vers $0.$ On observe aussi que $$\frac 1n\sum_{i=1}^n V_i=X_n+Y_n.$$ On obtient donc bien le résultat voulu comme conséquence de la question précédente.
Pour $n\in\mathbb N,$ posons $A_n$ l'événement $|X|> n.$ Alors $(A_n)$ est une suite décroissante (pour l'inclusion) d'événements et $\bigcap_{n\geq 1} A_n=\varnothing.$ On en déduit, par la propriété de continuité décroissante, que $$\lim_{n\to+\infty} P(A_n)=0.$$ En particulier, soit $\veps>0.$ Il existe $n_0\in\mathbb N$ tel que $P(A_{n_0})\leq\veps.$ Pour tout $M\geq n_0,$ on a $P(|X|>M)\leq \veps.$
On va s'inspirer de la preuve du produit de deux suites convergentes. Pour $n\geq 1,$ on écrit $$|X_nY_n-XY|\leq |X_n-X| \cdot |Y_n|+ |Y_n-Y|\cdot |X|.$$ En raisonnant comme aux deux premières questions, on voit que $$P(|X_nY_n-XY|\geq\veps)\leq P(|X_n-X|\cdot |Y_n|\geq\veps/2)+P(|Y_n-Y|\cdot |X|\geq\veps/2).$$ Il suffit donc de démontrer que les deux probabilités à droite de l'inégalité tendent vers $0.$ On va le démontrer pour la première probabilité, qui est le cas le plus difficile. Pour cela, fixons $\delta>0$ et soit $M>0$ tel que $P(|Y|> M-1)\leq\delta.$ Alors, si $|X_n-X|\cdot |Y_n|\geq \veps,$ alors ou bien $|X_n-X|\geq \veps/M,$ ou bien $|Y_n|>M.$ Mais si $|Y_n|>M,$ alors ou bien $|Y|>M-1,$ ou bien $|Y_n-Y|\geq 1.$ Finalement, on a prouvé que $$(|X_n-X|\cdot |Y_n|\geq\veps)\subset (|X_n-X|\geq\veps/M)\cup (|Y|\geq M-1)\cup (|Y_n-Y|\geq 1),$$ et donc en passant aux probabilités \begin{align*} P(|X_n-X|\cdot |Y_n|\geq\veps)&\leq P(|X_n-X|\geq\veps/M)+P (|Y|\geq M-1)+P (|Y_n-Y|\geq 1)\\ &\leq \delta+P(|X_n-X|\geq\veps/M)+P (|Y_n-Y|\geq 1). \end{align*} D'après les hypothèses, il existe $n_0\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\geq n_0,$ $$P(|X_n-X|\geq\veps/M)\leq\delta\textrm{ et } (|Y_n-Y|\geq 1)\leq \delta.$$ Finalement, pour $n\geq n_0,$ $$P(|X_n-X|\cdot |Y_n|\geq\veps)\leq 3\delta$$ ce qui est la conclusion attendue.

Exercice 4 - Tirages en changeant la composition de l'urne (d'après Centrale) ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Une urne contient $a>0$ boules vertes et $b>0$ boules rouges. On pose $N=a+b$. On réalise des tirages successifs en suivant le protocole suivant : si on tire une boule rouge, on la remet dans l'urne. Si on tire une boule verte, on la remplace dans l'urne par une boule rouge. Pour $k\geq 1$ on note $T_k$ la variable aléatoire égale à $1$ si le $k$-ème tirage donne une boule verte et à $0$ si le $k$-ème tirage donne une boule rouge. On note aussi $X_k$ la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes tirées lors des $k$ premiers tirages.

Déterminer la loi de $T_1$ et la loi de $T_2$.
Soit $n\in\mathbb N^*$. Démontrer que $$P(T_{n+1}=1)=\frac{a-E(X_n)}{N}.$$ En déduire que $$P(T_n=1)=a\frac{(N-1)^{n-1}}{N^n}.$$
Calculer $E(X_n)$ puis déterminer sa limite.

Indication

Corrigé

Exercice 5 - Loi d'une somme par la fonction génératrice (d'après INP) ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Un sac contient quatre boules indiscernables au toucher : une boule numérotée 0, deux boules numérotées 1 et une boule numérotée 2. Soit $n\in\mathbb N^*.$ On effectue $n$ tirages successifs, avec remise, d’une boule dans ce sac. On note $S_n$ la somme des numéros tirés. Déterminer la fonction génératrice $G_{S_n}$ de $S_n$, puis en déduire la loi de $S_n.$

Indication

Corrigé

Exercice 6 - Peinture (d'après oral CCPINP) ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Un homme peint un mur en étant placé sur un échafaudage, des passants passent sous son échafaudage et ont chacun une probabilité $p\in]0,1[$ de se faire toucher par une goutte de peinture. Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes touchées en une journée et $Y$ celui du nombre de personnes qui ne sont pas touchées. On suppose que $n$ personnes passent dans la journée.

Donner les lois de $X$ et $Y$. Sont-elles indépendantes ?
On suppose maintenant que $N$ personnes passent dans la journées et que $N$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda.$ Donner les lois de $X$ et de $Y$. Sont-elles indépendantes ?

Indication

Corrigé

Exercice 7 - Loi de la différence (d'après École Navale) ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$. Déterminer la loi et l'espérance de $Z=|X-Y|$.

Indication

Corrigé