Oraux de concours : Exercices sur les variables aléatoires discrètes

Les valeurs propres de la matrice triangulaire $A$ sont $X_1$ et $X_2$. Si $X_1\neq X_2$, alors la matrice est diagonalisable. Si au contraire $X_1=X_2$, alors l'espace propre associé à l'unique valeur propre $X_1$ a pour équation $y=0$ : il est de dimension 1 et $A$ n'est pas diagonalisable.
$A$ est donc diagonalisable si et seulement si $X_1\neq X_2$. Or, $$P(X_1=X_2)=\sum_{k=1}^{+\infty} P\big ( (X_1=k)\cap (X_2=k)\big)=\sum_{k=1}^{+\infty}P(X_1=k)P(X_2=k)$$ car les variables aléatoires sont indépendantes. On a donc $$P(X_1=X_2)=\sum_{k=1}^{+\infty}p^2(1-p)^{2k-2}=\frac{p^2}{1-(1-p)^2}=\frac{p}{2-p}.$$ La probabilité recherchée est donc $$1-\frac{p}{2-p}=\frac{2(1-p)}{2-p}.$$

Pour $k\in\{1,\dots,n\},$ notons $X_k$ la variable aléatoire égale au numéro tiré lors du $k$-ème tirage. Alors $X_k$ prend ses valeurs dans $\{0,1,2\}$ et \begin{align*} P(X_k=0)&=1/4\\ P(X_k=1)&=1/2\\ P(X_k=2)&=1/4. \end{align*} On en déduit que la fonction génératrice de $X_k$ est définie, pour $t\in]-1,1[,$ par $$G_{X_k}(t)=\frac 14+\frac 12t+\frac14t^2=\frac{1}4(1+t)^2.$$ De plus, on sait que $S_n=X_1+\cdots+X_n$ et que les variables aléatoires $X_k,$ $k=1,\dots,n$ sont indépendantes. On en déduit que \begin{align*} G_{S_n}(t)&=\prod_{k=1}^n G_{X_k}(t)\\ &=\prod_{k=1}^n \frac 14 (1+t)^2\\ &=\frac{1}{4^n}(1+t)^{2n}\\ &=\sum_{k=0}^{2n}\frac 1{4^n}\binom{2n}k t^k \end{align*} D'autre part, on sait que $$G_{S_n}(t)=\sum_{k=0}^{+\infty}P(S_n=k)t^k.$$ Par unicité du développement en série entière, on trouve que, pour $k\in\{0,\dots,2n\},$ $$P(S_n=k)=\binom{2n}k \frac1{4^{n}}=\binom{2n}k \frac1{2^k}\frac{1}{2^{2n-k}}.$$ Puisque $S_n$ est en outre à valeurs dans $\{0,\dots,2n\},$ on vient de démontrer que $S_n$ suit une loi binomiale de paramètres $2n$ et $1/2$. On aurait en réalité pu conclure avec un théorème du cours si on avait remarqué dès le départ que chaque $X_k$ suit une loi binomiale de paramètre $2$ et $1/2$.

On va noter $q=1-p$. On commence par remarquer que $Z$ prend ses valeurs dans $\mathbb N.$ On a $Z=0$ si et seulement $X=Y$ et donc \begin{align*} P(Z=0)&=P(X=Y)\\ &=\sum_{k=1}^{+\infty}P(X=k,Y=k)\\ &=\sum_{k=1}^{+\infty}P(X=k)P(Y=k)\\ &=\sum_{k=1}^{+\infty}q^{2k-2}p^2\\ &=p^2\sum_{k=0}^{+\infty}q^{2k}\\ &=\frac{p^2}{1-q^2}. \end{align*} De la même façon, pour $k>0,$ on a $$Z=k\iff \exists \ell\geq 1,\ (X=\ell\textrm{ et }Y=k+\ell)\textrm{ ou }(Y=\ell\textrm{ et }X=k+\ell).$$ On en déduit \begin{align*} P(Z=k)&=\sum_{\ell=1}^{+\infty}\big(P(X=\ell,Y=k+\ell)+P(X=k+\ell,Y=\ell)\big)\\ &=2\sum_{l=1}^{+\infty} q^{\ell-1}q^{k+\ell-1}p^2\\ &=2p^2 q^k\sum_{\ell=1}^{+\infty}q^{2\ell-2}\\ &=\frac{2p^2q^k}{1-q^2}. \end{align*} On en déduit que \begin{align*} E(Z)&=\frac{2p^2}{1-q^2}\sum_{k=1}^{+\infty}kq^k\\ &=\frac{2p^2}{1-q^2}\times \frac{q}{(1-q)^2}\\ &=\frac{2q}{1-q^2}. \end{align*}