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Oraux de concours : topologie des espaces vectoriels normés

Centrale

Exercice 1 - Intérieur et adhérence dans un espace de suites (d'après Oral Centrale) ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $E$ le $\mathbb R$-espace vectoriel des suites bornées. Pour $u\in E,$ on note $N_\infty(u)=\sup_{n\in\mathbb N}|u_n|$ et $N(u)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{|u_n|}{2^n}.$

Démontrer que $N_\infty$ et $N$ sont deux normes sur $E$. Sont-elles équivalentes ?
On munit désormais $E$ de $N_\infty$ et on considère $A$ l'ensemble des suites réelles nulles à partir d'un certain rang. Démontrer que l'intérieur de $A$ est vide. Quelle est son adhérence ?
On considère $B$ l'ensemble des suites à valeurs strictement positives. Déterminer l'intérieur et l'adhérence de $B$.

Indication

Corrigé

Soit $u,v\in E$ et $\lambda\in\mathbb R.$ On a $N_{\infty}(u)=0$ si et seulement si, pour tout $n\in\mathbb N,$ $u_n=0$ si et seulement si $u=0$. De plus, puisque pour tout entier $n,$ on a $|\lambda u_n|=|\lambda|\cdot |u_n|,$ on a $N_{\infty}(\lambda u)=|\lambda |N_{\infty}(u)$. Enfin, pour tout entier $n$, on a $$|u_n+v_n|\leq |u_n|+|v_n|\leq N_\infty(u)+N_\infty(v).$$ En passant à la borne supérieure, on trouve $$N_\infty(u+v)\leq N_\infty(u)+N_\infty(v).$$ Ceci prouve que $N_\infty$ est une norme sur $E.$ Passons maintenant à $N.$ Remarquons d'abord que $N$ est bien définie sur $E$ (la série définissant $N(u)$ est convergente par convergence de la série géométrique $\sum_n 2^{-n}$). De plus, tous les termes de la somme étant positifs ou nuls, on a $$N(u)=0\iff \forall n\in\mathbb N, |u_n|=0\iff u=0.$$ De plus, on a $$N(\lambda u)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{|\lambda u_n|}{2^n}=\sum_{n=0}^{+\infty}|\lambda|\frac{|u_n|}{2^n}=|\lambda|N(u).$$ Enfin, pour tout $n\in\mathbb N,$ $$\frac{|u_n+v_n|}{2^n}\leq \frac{|u_n|}{2^n}+\frac{|v_n|}{2^n}.$$ Si on somme ces inégalités, on trouve que $N(u+v)\leq N(u)+N(v).$ Ainsi, $N$ est également une norme sur $E.$
Les normes $N_\infty$ et $N$ ne sont pas équivalentes. En effet, considérons la suite $(u(p))$ de $E$ où $u_n(p)=0$ si $n\neq p$ et $u_n(p)=1$ si $n=p.$ Alors $N_\infty(u(p))=1$ alors que $N(u(p))=2^{-p}$. Il est ainsi impossible de trouver une constante $C>0$ telle que, pour tout $u\in E,$ $N_\infty(u)\leq C N(u)$.
Supposons qu'il existe une suite $u$ dans l'intérieur de $A.$ Soit $\veps>0$ tel que $B(u,\veps)\subset A.$ Soit $v$ la suite définie par, pour tout $n\in\mathbb N,$ $v_n=u_n+\veps/2.$ Alors $v\in B(u,\veps)$ alors que $v\notin A$ puisqu'elle est stationnaire égale à $\veps/2$. On obtient une contradiction. Donc l'intérieur de $A$ est vide.
On va ensuite démontrer que l'adhérence de $A$ est l'ensemble des suites qui convergent vers $0.$ Soit $u$ une telle suite, et posons, pour $p\geq 1,$ $u(p)$ la suite définie par $u_n(p)=u_n$ si $n\leq p$ et $u_n(p)=0$ sinon. Alors $u(p)\in A.$ De plus, $$N_\infty(u-u(p))=\sup_{n>p} |u_n|\xrightarrow{p\to+\infty}0.$$ Ceci montre que l'ensemble des suites de limite nulle est contenu dans l'adhérence de $A.$ Réciproquement, soit $u$ dans l'adhérence de $A$ et prouvons que $u$ est de limite nulle. Soit $\veps>0.$ Il existe $v\in A$ tel que $N_\infty(u-v)\leq \veps.$ Cette suite $v$ étant fixée, il existe $N\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\geq N,$ $v_n=0$. On en déduit que, pour $n\geq N,$ $$|u_n|=|u_n-v_n|\leq N_\infty(u-v)\leq\veps.$$ On a bien démontré que la suite $u$ converge vers $0$ et le résultat annoncé.
Soit $u$ dans l'intérieur de $B$ et soit $\veps>0$ tel que $B(u,\veps)\subset B.$ Alors il est clair que, pour tout $m\geq 0,$ on a $u_m\geq \veps$ sinon la suite $v$ définie par $v_n=u_n$ pour $n\neq m$ et $v_n=0$ si $n=m$ vérifie $N_\infty(u-v)=|u_m|<\veps$ et $v\notin B$. Réciproquement, démontrons que si $u$ est une suite telle qu'il existe $\veps>0$ avec $u_n\geq \veps$ pour tout $n\in\mathbb N,$ alors $u$ est dans l'intérieur de $B.$ C'est facile : il suffit de remarquer que $B(u,\veps)\subset B.$
Démontrons ensuite que l'adhérence de $B$ est l'ensemble des suites à valeurs positives ou nulles. Soit $u$ dans l'adhérence de $B$ et $(u(p))$ une suite d'éléments de $B$ qui converge vers $u$. Alors pour tout $n\in\mathbb N,$ $(u_n(p))_p$ converge vers $u_n$ puisque $|u_n(p)-u_n|\leq N_\infty(u(p)-u)$. Or, $u_n(p)>0$ et par passage à la limite, on a $u_n\geq 0.$ Réciproquement, si $u$ est une suite à valeurs positives ou nulles, alors posons $u(p)$ la suite définie par $u_n(p)=u_n+2^{-p}$. Alors $(u(p))_p$ est une suite d'éléments de $B.$ De plus, on a $N_\infty(u-u(p))=2^{-p}$ et la suite $(u(p))$ converge vers $u$ qui est bien dans l'adhérence de $B.$

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