Oraux de concours : Exercices sur les suites et séries de fonctions

Exercice 1

- Équivalent aux bornes du domaine de définition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{e^{-nx}}{x+n}$.

Quel est le domaine de définition de $f$? Démontrer que $f$ est continue sur son domaine de définition.
Donner un équivalent de $f$ aux bornes de son domaine de définition.

Indication

Corrigé

Il est facile de voir que la série ne converge pas si $x<0$ (car son terme général ne tend pas vers $0$, et n'est même pas toujours défini si $x$ est un entier négatif) et aussi si $x=0$ (série harmonique divergente). On va en revanche prouver la convergence normale sur tout intervalle du type $[a,+\infty[$, avec $a>0$. Puisque les fonctions $x\mapsto \frac{e^{-nx}}{x+n}$ sont continues sur $]0,+\infty[$, on obtiendra que $f$ est définie et continue sur $]0,+\infty[$. Soit donc $a>0$. Alors, pour tout $x\geq a,$ on a $e^{-nx}\leq e^{-na}$ et $x+n\geq a+n>0$. Passant à l'inverse on trouve $$0\leq \frac{e^{-nx}}{x+n}\leq \frac{e^{-na}}{a+n}.$$ Le membre de droite est le terme général d'une série numérique convergente (puisque c'est par exemple un $o(1/n^2)$). Ceci prouve la convergence normale sur $[a,+\infty[$.
Commençons par chercher un équivalent en $+\infty$. Le théorème d'interversion limite/somme nous dit déjà que $f$ admet $0$ pour limite en $+\infty$. De plus, parmi tous les termes de la série, le plus gros, au voisinage de $+\infty,$ est de loin le premier. On peut donc conjecturer que $f(x)\sim_{+\infty}\frac{e^{-x}}x.$ Prouvons-le en formant la différence : \begin{align*} f(x)-\frac{e^{-x}}x&=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{e^{-nx}}{x+n}\\ &=\frac{e^{-x}}x \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{xe^{-\left(n-1\right)x}}{x+n}. \end{align*} Posons, pour $x>0$ et $n\geq 2,$ $\displaystyle v_n(x)=\frac{xe^{-\left(n-1\right)x}}{x+n}.$ Alors, pour tout $x\geq 1$ et tout $n\geq 2,$ on a $$0\leq v_n(x)\leq e^{-n},$$ qui est le terme général d'une série numérique convergente. Ainsi, $\sum_{n\geq 2}v_n$ converge normalement sur $[1,+\infty[$. D'après le théorème d'interversion somme/limite, on a $$\lim_{x\to+\infty}\sum_{n=2}^{+\infty}v_n(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}\lim_{x\to+\infty}v_n(x)=0.$$ Ainsi, on a prouvé que $$f(x)-\frac{e^{-x}}x=o\left(\frac{e^{-x}}x\right)$$ ce qui donne l'équivalent conjecturé.
Pour déterminer un équivalent en $0,$ on peut commencer par conjecturer que $\frac{e^{-nx}}{x+n}$ se comporte comme $\frac{e^{-nx}}n$ et remplacer $f$ par la série des $\frac{e^{-nx}}n.$ On écrit donc que, pour tout $x>0,$ \begin{align*} f(x)-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{e^{-nx}}n&=\sum_{n=1}^{+\infty}e^{-nx}\left(\frac1{x+n}-\frac 1n\right)\\ &=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{-xe^{-nx}}{n(x+n)}. \end{align*} On va commencer par démontrer que cette dernière fonction tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $0$. Pour cela, il suffit de démontrer la convergence normale de la série sur $[0,1]$, ce qui entraînera la continuité de la somme de la série. Pour cela, on observe que pour tout $x\in [0,1],$ on a $$\left|\frac{xe^{-nx}}{n(x+n)}\right|\leq \frac1{n^2}$$ qui est le terme général d'une série convergente. On va ensuite simplifier $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{e^{-nx}}n.$ Pour cela, le plus simple est d'avoir quelques notions sur les séries entières. En effet, on sait que si $|X|<1,$ alors $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{X^n}n=-\ln(1-X).$$ Ainsi, $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{e^{-nx}}n=-\ln(1-e^{-x})$$ et ceci tend vers $+\infty$ si $x$ tend vers $0^+$. Finalement, on obtient $$f(x)=_0 -\ln(1-e^{-x})+o(1)$$ ce qui prouve que $f(x)\sim_0 -\ln(1-e^{-x}).$ On peut encore trouver un résultat plus simple, en remarquant que $$\ln(1-e^{-x})=\ln(x+o(x))=\ln(x)+\ln(1+o(1))\sim_0 \ln(x).$$

Exercice 2

- Équivalent en l'infini, limite en $0$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n(nx+1)}$.

Démontrer que $S$ est définie et continue sur $\mathbb R_+^*$.
Déterminer la limite de $S$ en $+\infty$, puis un équivalent de $S$ en $+\infty$.
Déterminer la limite de $S$ en $0^+$.

Indication

Corrigé

Dans toute la suite, on pose $\displaystyle u_n(x)=\frac{1}{n(nx+1)}$ avec $x\in\mathbb R_+^*.$

Puisque les fonctions $u_n$ sont continues sur $\mathbb R_+^*,$ il suffit de démontrer que la série converge normalement sur tout intervalle du type $[a,+\infty[$ avec $a>0$. Soit donc $a>0$ et $x\geq a$. Alors, pour tout $n\geq 1,$ $nx+1\geq na+1>0$. En passant à l'inverse (la fonction inverse est décroissante sur $]0,+\infty[$), on a $$0\leq u_n(x)\leq \frac{1}{n(na+1)}.$$ Or, le terme de droite est une série numérique convergente. On en déduit la convergence normale de $\sum_{n\geq 1}u_n$ sur $[a,+\infty[,$ et par suite que $S$ est bien définie et continue sur $\mathbb R_+^*$.
Pour déterminer la limite de $S$ en $+\infty,$ par convergence normale (donc uniforme) sur $[1,+\infty[$, on peut appliquer le théorème d'interversion des limites. On a donc $$\lim_{x\to +\infty}S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\lim_{x\to +\infty}u_n(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}0=0.$$ La détermination d'un équivalent est plus délicate. On va commencer par conjecturer cet équivalent. Pour cela, on remarque qu'au voisinage de $+\infty,$ $$u_n(x)\sim_{x\to+\infty}\frac1{n^2 x}.$$ Dans un monde idéal, on peut espérer que $$S(x)\sim_{x\to+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2 x}=\left(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}\right)\times\frac 1x.$$ Ceci nous incite à étudier $xS(x)$. Pour cela, on pose, pour $x>0,$ $$v_n(x)=xu_n(x)=\frac{x}{n(1+nx)}$$ et on remarque que, pour tout $x>0,$ $$xS(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}v_n(x).$$ On va appliquer le théorème de la double limite à $S$. Pour cela, on va prouver la convergence normale de $\sum_{n\geq 1}v_n$ sur $[1,+\infty[$. En effet, pour tout $x\geq 1,$ on a $1+nx\geq nx>0$ et donc $$0\leq v_n(x)\leq \frac{x}{n^2 x}=\frac {1}{n^2}.$$ A nouveau, le membre de droite est le terme général d'une série numérique convergente, et la série $\sum_{n\geq 1}v_n$ converge normalement sur $[1,+\infty[$. Par le théorème de la double limite, $$\lim_{x\to+\infty}xS(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\lim_{x\to+\infty}v_n(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac 1{n^2}.$$ On en déduit que l'on a bien $$S(x)\sim_{x\to+\infty}\left(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}\right)\times\frac 1x.$$
A nouveau, on peut conjecturer la limite en se disant qu'au voisinage de $0$, $u_n(x)$ se comporte comme $\frac 1n,$ et que la série harmonique diverge. Voyons comment rendre rigoureux cet argument. Soit $M>0$. Il existe un entier $N\geq 1$ tel que $$\sum_{n=1}^N \frac 1n\geq M.$$ Pour $x\in ]0,1/N],$ et $1\leq n\leq N,$ on a $$1+nx\leq 1+N\times \frac 1N\leq 2,$$ ce qui entraîne, pour ces mêmes valeurs de $x$ et $n,$ $$u_n(x)\geq \frac 1{2n}.$$ On en déduit que, pour $x\in ]0,1/N]$, on a $$S(x)\geq \sum_{n=1}^N u_n(x)\geq \sum_{n=1}^N \frac1{2n}=\frac M2.$$ Ceci prouve que $\lim_{x\to 0^+}S(x)=+\infty.$

Exercice 3

- Oral CCINP [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Pour $n\geq 1$ et $x\in[0,1]$, on pose $\displaystyle f_n(x)=(x^2+1)\frac{ne^{x}+xe^{-x}}{n+x}$.

Démontrer que la suite de fonctions $(f_n)$ converge uniformément sur $[0,1]$.
Calculer $\lim_{n\to+\infty}\int_0^1 (x^2+1)\frac{ne^{x}+xe^{-x}}{n+x}dx.$

Indication

Corrigé