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Oraux de concours : Exercices sur les séries entières

Mines/Ponts

Exercice 1 - Produit de deux rayons de convergence - d'après Oral Mines/Ponts ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $(a_n)$ une suite de complexes tous non nuls, soit $R$ le rayon de convergence de la série $\sum_n a_n z^n$ et $R'$ le rayon de convergence de la série $\sum_n \frac 1{a_n}z^n.$

On suppose que $R\neq +\infty$ et $R'\neq +\infty$. Démontrer que $RR'\leq 1.$
Donner un exemple où $RR'\in ]0,1[$.
Démontrer que si $R=+\infty,$ alors $R'=0.$

Indication

Corrigé

Exercice 2 - Presqu'une équation différentielle - d'après Oral Mines/Ponts MP ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $(a,\lambda)\in\mathbb R\times [-1,1]$ et soit $E$ l'ensemble des fonctions $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $\mathcal C^1$ telles que, pour tout $x\in\mathbb R,$ $$f'(x)=af(x)+f(\lambda x).$$

Montrer que toute fonction $f$ de $E$ est de classe $\mathcal C^\infty.$
Déterminer les éléments de $E$ développables en série entière.
En déduire $E.$

Indication

Corrigé

On va procéder par récurrence : soit $f\in E$ et pour $n\geq 1,$ posons $\mathcal P_n$ la propriété "$f$ est de classe $\mathcal C^n$ sur $\mathbb R$". La propriété $\mathcal P_1$ est vraie par définition. Supposons $\mathcal P_n$ vraie. Alors par combinaison linéaire, la fonction $f'$ est de classe $\mathcal C^n,$ donc $f$ est de classe $\mathcal C^{n+1}.$ Donc $\mathcal P_{n+1}$ est vraie. Par le principe de récurrence, $\mathcal P_n$ est vraie pour tout entier $n\geq 1,$ ce qui signifie que $f$ est de classe $\mathcal C^\infty.$
On va procéder par analyse-synthèse. Soit $f\in E$ développable en série entière en $0.$ Alors il existe $R>0$ et une suite $(c_n)$ tels que, pour tout $x\in]-R,R[,$ $$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}c_n x^n.$$ Alors, pour tout $x\in]-R/\lambda,R/\lambda[,$ on a \begin{align*} f'(x)&=\sum_{n=1}^{+\infty} n c_n x^{n-1}=\sum_{n=0}^{+\infty} (n+1)c_{n+1}x^n\\ af(x)+f(\lambda x)&=\sum_{n=0}^{+\infty} \left(a+\lambda^n\right)c_nx^n. \end{align*} Par unicité du développement en série entière, on obtient, pour tout $n\geq 0,$ $$(n+1)c_{n+1}=(a+\lambda^n)c_n\implies c_{n+1}=\frac{a+\lambda^n}{n+1}{c_n}.$$ Par une récurrence immédiate, on trouve, pour tout $n\in\mathbb N,$ $$c_n=c_0\frac{\prod_{k=0}^{n-1} (a+\lambda^k)}{k!}.$$ Réciproquement, considérons la série entière $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\prod_{k=0}^{n-1} a+\lambda^k}{n!}x^n.$ Comme $|\lambda|\leq 1$, la suite $(a+\lambda^k)_k$ est bornée, disons par $K,$ et donc $$\frac{\prod_{k=0}^{n-1} (a+\lambda^k)}{n!}\leq \frac{K^n}{n!}.$$ On en déduit aisément (par exemple en comparant avec la série entière de $\exp(Kz)$) que le rayon de convergence de cette série entière vaut $+\infty.$ En remontant les calculs, on vérifie que cette fonction appartient à $E.$
En conclusion, on a démontré que les fonctions de $E$ développables en séries entière sont celles qui s'écrivent $$c_0\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\prod_{k=0}^{n-1} (a+\lambda^k)}{n!}x^n.$$
On va démontrer que toute fonction $f\in E$ est nécessairement développable en série entière. Pour cela, on va utiliser la formule de Taylor reste intégral et une majoration des normes infinies des dérivées de $f.$ Fixons $A>0$ et notons, pour $n\geq 0,$ $M_n=\sup_{x\in[-A,A]}|f^{(n)}(x)|.$ Alors, puisque $\lambda\in[-1,1],$ si $x\in [-A,A]$, $\lambda x\in [-A,A].$ De plus, on sait que, pour $n\geq 0,$ $$f^{(n+1)}(x)=af^{(n)}(x)+\lambda^n f^{(n)}(\lambda x).$$ Ainsi, on a $$M_{n+1}\leq (a+\lambda^n) M_n.$$ En gardant la notation de la question précédente, on trouve que $M_n\leq K^n M_0.$
Démontrons ensuite que pour tout $x\in[-A,A]$, la série de Taylor $\sum_{k\geq 0}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$ converge vers $f.$ Pour cela, on fixe $n\geq 1$ et on écrit $$f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\int_0^x (x-t)^n\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}dt.$$ Or, en supposant pour fixer les idées $x\geq 0,$ \begin{align*} \left |\int_0^x (x-t)^n\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}dt\right|&\leq \int_0^x x^n\frac{K^{n+1}}{n!} M_0dt\leq \frac{(xK)^{n+1}}{n!}M_0. \end{align*} Cette dernière suite tend vers $0.$ Ainsi, toutes les fonctions de $E$ sont développables en série entière, et le résultat de la question précédente donne une description complète de $E.$

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