Enoncé 
- Déterminer la nature de $\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{\sin(\sqrt x)}{x}dx$.
- Déterminer la nature de $\displaystyle \sum_n \frac{\sin(\sqrt n)}{n}.$
Indication 
- Faire un changement de variables.
- Poser $S_N=\sum_{n=1}^N \frac{\sin(\sqrt n)}{n}$ et $T_N=\int_1^{N+1}\frac{\sin(\sqrt x)}{x}dx$ et étudier $S_N-T_N.$
Corrigé
- Si on effectue le changement de variables $u=\sqrt t$ (c'est-à-dire $t=u^2$), alors
on constate que $\int_1^{+\infty}\frac{\sin(\sqrt t)}{t}dt$ est de même nature que $\int_1^{+\infty}2\frac{\sin(u)}{u}du.$ Il est bien connu que cette dernière intégrale est convergente (par intégration par parties par exemple).
- Pour $N\geq 1,$ posons $\displaystyle S_N=\sum_{n=1}^N \frac{\sin(\sqrt n)}{n}$ et $\displaystyle T_N=\int_1^{N+1}\frac{\sin(\sqrt x)}{x}dx$. Puisque la suite $(T_N)$ converge, la suite $(S_N)$ est de même nature que $(S_N-T_N)$. Pour $N\geq 1,$ écrivons
$$S_N-T_N=\sum_{n=1}^N v_n\textrm{ où }v_n=\frac{\sin(\sqrt n)}{n}-\int_n^{n+1}\frac{\sin(\sqrt t)}{t}dt.$$
On va prouver que la série $\sum_n v_n$ est convergente en prouvant qu'elle est absolument convergente. Pour $n\geq 1,$ on a
$$|v_n|\leq \int_n^{n+1}\left|\frac{\sin(\sqrt n)}{n}-\frac{\sin(\sqrt t)}{t}\right|dt.$$
Posons, pour $t\geq 1,$ $f(t)=\sin(\sqrt t)/t.$ Alors $f$ est dérivable sur $[1,+\infty[$ et pour tout $t\geq 1,$ on a
$$f'(t)=\frac{0.5\sqrt t\cos(\sqrt t)-\sin(\sqrt t)}{t^2}.$$
En particulier,
$$|f'(t)|\leq \frac{3}{2t^{1/2}}.$$
D'après le théorème des accroissements finis, pour tout $n\geq 1$ et tout $t\in[n,n+1],$ on a
$$\left|\frac{\sin(\sqrt n)}{n}-\frac{\sin(\sqrt t)}{t}\right|\leq \frac{3}{2n^2}.$$
En intégrant cette inégalité entre $n$ et $n+1,$ on trouve
$$|v_n|\leq \frac{3}{2n^2}.$$
Par comparaison à une série de Riemann convergente, la série $\sum_n v_n$ converge absolument. Ainsi, on a prouvé la convergence de $\displaystyle \sum_{n}\frac{\sin(\sqrt n)}{n}.$
