Oraux de concours : Exercices sur les polynômes d'endomorphismes

Soit $x\in E,$ $x\neq 0$ tel que $u\circ v(x)=\lambda x.$ Mais alors $v\circ u\circ v(x)=\lambda v(x).$ Si $v(x)\neq 0,$ alors $\lambda$ est une valeur propre de $v\circ u,$ de vecteur propre associé $v(x).$ Si $v(x)=0,$ alors $u\circ v(x)=0=\lambda x,$ et donc $\lambda=0.$ Il s'agit donc de démontrer que $v\circ u$ n'est pas injective. Notons $n$ la dimension de $E$ et $p$ le rang de $v.$ Par le théorème du rang, puisque $v$ n'est pas injective, $p<n.$ Mais le rang de $v\circ u$ est inférieur ou égal au rang de $v,$ donc inférieur ou égal à $p.$ Ainsi, $v\circ u$ n'est pas surjective, et donc, puisque $v\circ u$ est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, $v\circ u$ n'est pas injective, et $0$ est bien valeur propre de $v\circ u.$