Corrigé 
Supposons d'abord $M$ diagonalisable.
Alors, $M$ s'écrit $PDP^{-1}$ où $D$ est diagonale.
Il est clair que $M^p$ s'écrit $PD^pP^{-1}$, où $D^p$
est elle aussi diagonale. Donc $M^p$ est diagonalisable.
De plus, puisque $P$ est inversible, on a $x\in \ker(M)\iff P^{-1}x\in \ker(D)$
et $x\in \ker(M^p)\iff P^{-1}x\in \ker(D^p)$. Puisque $\ker(D)$
et $\ker(D^p)$ sont égaux, on a bien $\ker(M)=\ker(M^p)$.
Réciproquement, on suppose que $M^p$ est diagonalisable
et que $\ker(M^p)=\ker(M)$. Alors, $M^p$ annule un polynôme de $\mathbb C[X]$
scindé à racines simples (par exemple, son polynôme minimal). Quitte à multiplier ce polynôme par $X$,
il existe donc des complexes $\lambda_1,\dots,\lambda_s$, tous distincts
et différents de 0, tels que
$$M^p(M^p-\lambda_1 I)\dots(M^p-\lambda_s I)=0.$$
Soient $\mu_{1,i},\dots,\mu_{p,i}$ les racines
$p$-ièmes de $\lambda_i$. Elles sont toutes distinctes entre elles,
et distinctes des $\mu_{k,j}$ pour $i\neq j$. Factorisant
$$X^p-\lambda_i=\prod_{k=1}^p (X-\mu_{k,i}),$$
on obtient
$$M^p\prod_{k=1,\dots,p\atop i=1,\dots, s}(M-\mu_{k,i}I)=0.$$
D'après le théorème de décomposition des noyaux, on a
$$\ker(M^p)\bigoplus\oplus_{k=1,\dots,p\atop i=1,\dots,s}\ker(M-\mu_{k,i}I)=\mathbb C^n.$$
De la deuxième partie de l'hypothèse, on tire
$$\ker(M)\bigoplus\oplus_{k=1,\dots,p\atop i=1,\dots,s}\ker(M-\mu_{k,i}I)=\mathbb C^n.$$
Ainsi, $\mathbb C^n$ est somme des espaces propres de $M$ (certains espaces
de la décomposition précédente peuvent être réduits à $\{0\}$). Autrement dit,
$M$ est diagonalisable.
Dans $\mathbb R$, le résultat devient faux. En effet, prenons la matrice $M=\left(\begin{array}{cc}
0&1\\
-1&0
\end{array}\right).$ Alors $M$ n'est pas diagonalisable (sur $\mathbb R$) car elle n'admet pas de valeurs propres. En revanche, $M^2=-I_2$ est diagonale, donc diagonalisable, alors que $\ker(M)=\ker(M^2)=\{0\}$ puisque $M$ et $M^2$ sont inversibles.
