$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Oraux de concours : Exercices sur les intégrales à paramètres

Mines
Exercice 1 - Calcul d'une intégrale par dérivation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x\in\mathbb R,$ on pose $\displaystyle f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{itx}-1}{t}e^{-t}dt$.
  1. Démontrer que, pour tout $u\in\mathbb R,$ $|e^{iu}-1|\leq |u|.$
  2. Démontrer que $f$ est dérivable, puis en déduire une expression de $f$ sans le signe intégrale.
Indication
Corrigé
Centrale
Exercice 2 - Limite, équivalent, développement limité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ une fonction continue et strictement positive. Pour $n\geq 1,$ on pose $$I_n=\int_0^1 \sin\left(\frac{f(t)}{n}\right)dt.$$
  1. Déterminer la limite de $I_n$.
  2. Déterminer un équivalent simple $J_n$ de $I_n$.
  3. Déterminer un équivalent de $I_n-J_n$.
Indication
Corrigé
CCINP
Exercice 3 - Limite, équivalent, permutation séries/intégrales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 1,$ on pose $\displaystyle I_n=\int_0^1 \ln(1+t^n)dt$.
  1. Démontrer que la suite $(I_n)$ converge et déterminer sa limite.
  2. Démontrer que $\displaystyle I_n\sim_{+\infty}\frac 1n\int_0^1 \frac{\ln(1+u)}{u}du.$
  3. On admet que $\displaystyle \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}$. Démontrer que $\displaystyle I_n\sim_{+\infty}\frac{\pi^2}{12n}.$
Indication
Corrigé
Permutation limites/intégrales et fonctions définies par une intégrale