Oraux de concours : Exercices sur les intégrales à paramètres

Exercice 1 - Calcul d'une intégrale par dérivation ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Pour $x\in\mathbb R,$ on pose $\displaystyle f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{itx}-1}{t}e^{-t}dt$.

Démontrer que, pour tout $u\in\mathbb R,$ $|e^{iu}-1|\leq |u|.$
Démontrer que $f$ est dérivable, puis en déduire une expression de $f$ sans le signe intégrale.

Indication

Corrigé

Exercice 2 - Limite, équivalent, développement limité ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ une fonction continue et strictement positive. Pour $n\geq 1,$ on pose $$I_n=\int_0^1 \sin\left(\frac{f(t)}{n}\right)dt.$$

Déterminer la limite de $I_n$.
Déterminer un équivalent simple $J_n$ de $I_n$.
Déterminer un équivalent de $I_n-J_n$.

Indication

Corrigé

Posons, pour $n\geq 1$ et $t\in[0,1]$, $f_n(t)=\sin\left(\frac{f(t)}{n}\right)$. Alors pour tout $t\in[0,1]$, $f_n(t)\to 0$ lorsque $n\to+\infty$. De plus, pour tout $t\in[0,1]$ et tout $n\geq 1,$ $|f_n(t)|\leq 1$ qui est intégrable sur $]0,1[$. Par le théorème de convergence dominée, $$\lim_{n\to+\infty}\int_0^1 \sin\left(\frac{f(t)}{n}\right)dt=0.$$
La première difficulté est de deviner l'équivalent. Pour le conjecturer, on peut se dire que, pour tout $t\in]0,1[$, $$\sin\left(\frac{f(t)}{n}\right)\sim_{n\to+\infty}\frac{f(t)}{n}.$$ Si tout se passe bien, on doit pouvoir intégrer cet équivalent et obtenir que $$I_n\sim_{+\infty}\frac{\int_0^1 f(t)dt}{n}$$ (remarquons que l'hypothèse $f>0$ intervient ici pour que l'intégrale ne soit pas nulle). On doit donc montrer que $nI_n\to \int_0^1 f(t)dt.$ C'est parti! Posons pour $t\in]0,1[$ et $n\geq 1$, $g_n(t)=n\sin\left(\frac{f(t)}{n}\right)$. Alors pour tout $t\in]0,1[$, $g_n(t)\to f(t)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. De plus, utilisant l'inégalité $|\sin(x)|\leq |x|$ pour tout $x\in\mathbb R,$ on prouve que, pour $t\in]0,1[$ et $n\geq 1,$ $$|g_n(t)|\leq n\frac{f(t)}{n}=f(t).$$ Cette dernière fonction ne dépend plus de $n$ et est intégrable sur $]0,1[$ puisque $f$ est continue sur $[0,1]$. Ainsi, par le théorème de convergence dominée, $$nI_n\to \int_0^1 f(t)dt.$$
On commence par écrire $$I_n-\frac 1n\int_0^1 f(t)dt=\int_0^1 \left(\sin\left(\frac{f(t)}{n}\right)-\frac{f(t)}n\right)dt.$$ Le développement limité du sinus nous incite à poser, pour $n\geq 1$ et $t\in]0,1[$, $$h_n(t)=n^3 \left(\sin\left(\frac{f(t)}{n}\right)-\frac{f(t)}n\right).$$ On sait, en utilisant le développement limité du sinus, que pour tout $t\in]0,1[$, $$\lim_{n\to+\infty}h_n(t)=-\frac{f^3(t)}{6}.$$ De plus, on sait qu'il existe $\alpha>0$ et $h:[-\alpha,\alpha]\to\mathbb R$ bornée tels que, pour tout $x\in[-\alpha,\alpha],$ $$\sin(x)=x+x^3h(x)$$ (ceci est aussi une conséquence du développement limité du sinus). Soit $n_0$ tel que $\|f\|_\infty/n_0\leq 1$. Alors, pour tout $t\in]0,1[$ et tout $n\geq n_0$, on a $$\left|\sin\left(\frac{f(t)}{n}\right)-\frac{f(t)}n\right|\leq \frac{f^3(t)}{n^3}\|h\|_\infty$$ de sorte que $$|h_n(t)|\leq f^3(t)\times\|h\|_\infty.$$ A nouveau, la fonction apparaissant à droite ne dépend pas de $n$ et est intégrable sur $]0,1[$. Le théorème de convergence dominée nous donne alors $$\lim_{n\to+\infty}n^3\left(I_n-\frac1n\int_0^1 f(t)dt\right)=-\frac 16 \int_0^1 f^3(t)dt.$$ Ainsi, $$I_n-\frac 1n\int_0^1 f(t)dt\sim_{+\infty}\frac{-1}{6n^3}\int_0^1 f^3(t)dt.$$

Exercice 3 - Limite, équivalent, permutation séries/intégrales ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Pour $n\geq 1,$ on pose $\displaystyle I_n=\int_0^1 \ln(1+t^n)dt$.

Démontrer que la suite $(I_n)$ converge et déterminer sa limite.
Démontrer que $\displaystyle I_n\sim_{+\infty}\frac 1n\int_0^1 \frac{\ln(1+u)}{u}du.$
On admet que $\displaystyle \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}$. Démontrer que $\displaystyle I_n\sim_{+\infty}\frac{\pi^2}{12n}.$

Indication

Corrigé

Posons, pour $n\geq 1$ et $t\in]0,1[$, $f_n(t)=\ln(1+t^n)$. La fonction $f_n$ est continue sur $]0,1[$. De plus, pour tout $t\in ]0,1[$, $f_n(t)\to \ln(1)=0$ lorsque $n\to+\infty$. Enfin, pour tout $t\in]0,1[$ et tout $n\geq 1$, on a, par croissance de la fonction $\ln,$ $|f_n(t)|\leq \ln(2)$ et cette fonction constante est intégrable sur $]0,1[$. Par le théorème de convergence dominée, on obtient que $$\lim_{n\to+\infty}I_n=0.$$
Effectuons le changement de variables $u=t^n$, de sorte que $du=nt^{n-1}dt$ ou encore $dt=du/nu^{(n-1)/n}$. On a alors $$I_n=\frac 1n\int_0^1 \frac{\ln(1+u)}{u^{(n-1)/n}}du.$$ On va démontrer que cette dernière intégrale tend vers $\int_0^1 \frac{\ln(1+u)}{u}du$ lorsque $n\to+\infty$, ce qui démontrera l'équivalent voulu. Pour cela, on pose pour $n\geq 1$ et $u\in]0,1[$, $$g_n(u)=\frac{\ln(1+u)}{u^{(n-1)/n}}.$$ La fonction $g_n$ est continue sur $]0,1[$. De plus, pour tout $u\in]0,1[$, on a $$\lim_{n\to+\infty}g_n(u)=\frac{\ln(1+u)}{u}.$$ Enfin, pour tout $n\geq 1$ et tout $u\in]0,1[$, en utilisant que $|\ln(1+u)|\leq u,$ on trouve $$|g_n(u)|\leq \frac{u}{u^{(n-1)/n}}=u^{1/n}\leq 1$$ et cette dernière fonction est intégrable sur $]0,1[$. Ainsi, on trouve que $$\lim_{n\to+\infty}\int_0^1 g_n(u)du=\int_0^1 \frac{\ln(1+u)}{u}du$$ ce qui permet de démontrer l'équivalent recherché.
Par le développement de $\ln(1+u)$ en série entière, on sait que, pour tout $u\in ]0,1[$, $$\frac{\ln(1+u)}{u}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}u^{n-1}}n.$$ Posons, pour $n\geq 1$ et $u\in]0,1[$, $\displaystyle h_n(u)=\frac{(-1)^{n-1}u^{n-1}}n$ qui est continue sur $]0,1[$. Pour $u\in ]0,1[$, la série $\sum_{n\geq 1}h_n(u)$ converge vers $\frac{\ln(1+u)}{u}$. De plus, pour tout $n\geq 1,$ on a $$\int_0^1 |h_n(u)|du=\int_0^1 \frac{u^{n-1}}ndu=\frac 1{n^2}.$$ Ainsi, $\sum_{n\geq 1}\int_0^1 |h_n(u)|du$ est une série convergente. On peut appliquer le théorème d'intégration terme à terme, et on trouve \begin{align*} \int_0^1 \frac{\ln(1+u)}{u}du&=\int_0^1 \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}u^{n-1}}ndu\\ &=\sum_{n=1}^{+\infty}\int_0^1 \frac{(-1)^{n-1}u^{n-1}}ndu\\ &=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}\\ &=\frac{\pi^2}{12}. \end{align*} Ainsi, on obtient bien $\displaystyle I_n\sim_{+\infty}\frac{\pi^2}{12n}.$