Oraux de concours : Exercices sur espaces probabilisés

On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2.$ L’urne $U_1$ contient deux boules blanches et trois boules noires. L’urne $U_2$ contient quatre boules blanches et trois boules noires. On effectue des tirages successifs dans les conditions suivantes : on choisit une urne au hasard et on tire une boule dans l’urne choisie. On note sa couleur et on la remet dans l’urne d’où elle provient. Si la boule tirée était blanche, le tirage suivant se fait dans l’urne $U_1.$ Sinon le tirage suivant se fait dans l’urne $U_2.$ Pour tout $n\in\mathbb N^*,$ on note $B_n$ l’événement « la boule tirée au $n$-ième tirage est blanche » et on pose $p_n = P (B_n).$

1. Calculer $p_1.$
2. Prouver que, pour tout $n\in\mathbb N^*,$ $p_{n+1} = \frac{-6}{35}p_n+\frac 47.$
3. En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, la valeur de $p_n.$

On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés. Pour chaque dé pipé, la probabilité d'obtenir le chiffre 6 lors d'un lancer vaut $1/2$.

1. On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé et on obtient 6. Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé?
2. Soit $n\in\mathbb N^*$. On tire un dé au hasard parmi 100 dés. On lance ce dé $n$ fois et on obtient $n$ fois le chiffre $6$. Quelle est la probabilité $p_n$ pour que ce dé soit pipé. Interpréter le résultat.