$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : topologie des espaces vectoriels normés

$E$ et $F$ désignent deux espaces vectoriels normés.

Démontrer qu'un ensemble est fermé

Pour démontrer qu'une partie $A$ de $E$ est fermée, on peut

  • démontrer que son complémentaire est ouvert;
  • utiliser la caractérisation séquentielle : démontrer que pour toute suite $(x_n)$ de $A$ qui converge vers $\ell$, alors $\ell\in A$;
  • démontrer que $A$ est l'image réciproque d'un fermé par une application continue;
  • démontrer que $A$ s'écrit comme un produit cartésien $A=X\times Y,$ où $X$ et $Y$ sont deux fermés.
(voir voir cet exercice, cet exercice ou cet exercice pour étudier des applications de ces différentes méthodes).
Démontrer qu'un ensemble est ouvert

Pour démontrer qu'une partie $A$ de $E$ est ouverte, on peut

  • revenir à la définition : montrer que pour tout $a$ de $A,$ il existe $r>0$ tel que $B(a,r)\subset A.$
  • démontrer que son complémentaire est fermé;
  • démontrer que $A$ est l'image réciproque d'un ouvert par une application continue;
  • démontrer que $A$ s'écrit comme un produit cartésien $A=X\times Y,$ où $X$ et $Y$ sont deux ouverts.
(voir voir cet exercice, cet exercice ou cet exercice pour étudier des applications de ces différentes méthodes).
Démontrer qu'un ensemble n'est pas fermé

Pour démontrer qu'un ensemble $A$ n'est pas fermé, on peut

  • démontrer que son complémentaire n'est pas ouvert;
  • utiliser la caractérisation séquentielle : trouver une suite $(x_n)$ de $A$ qui converge vers $\ell$ de sorte que $\ell\notin A$ (voir cet exercice).
Démontrer qu'un ensemble n'est pas ouvert

Pour démontrer qu'une partie $A$ de $E$ n'est pas ouvert, on peut

  • démontrer que son complémentaire n'est pas fermé;
  • trouver un élément $x\in A$ et une suite $(x_n)$ qui converge vers $x$ de sorte que, pour tout $n\in\mathbb N$, $x_n\notin A$ (voir cet exercice).
Démontrer que l'intérieur d'un ensemble est vide

Pour démontrer que l'intérieur d'un ensemble $A$ est vide, on peut, pour tout $x\in A$, trouver une suite $(x_n)$ dans le complémentaire de $A$ qui tend vers $x$ (voir cet exercice).

Démontrer qu'une application définie sur un ouvert de $\mathbb R^n$ admet une limite en $a$

Pour démontrer qu'une fonction $f$ définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^n$ à valeurs dans $\mathbb R^p$ admet une limite en $a,$ il suffit de démontrer que chaque composante de $f$ admet une limite en $a$. Pour cela, on peut utiliser des théorèmes généraux (continuité des fonctions polynôme, limites préservées par les opérations usuelles,...) ou majorer $|f_i(x)-\ell_i|$ par $\veps(\|x-a\|)$ en utilisant toutes les techniques classiques d'analyse. En particulier, l'inégalité $2|xy|\leq x^2+y^2$ permet parfois de se ramener à la norme deux (voir cet exercice).

Démontrer qu'une fonction n'admet pas de limite en $a$

Pour démontrer que $f$ n'admet pas de limite en $a$, on peut

  • trouver une suite $(x_n)$ qui converge vers $a$ et telle que $(f(x_n))$ ne converge pas.
  • trouver deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ qui convergent vers $a$ et telles que $(f(x_n))$ et $(f(y_n))$ admettent des limites différentes
(voir cet exercice).
Démontrer qu'une application est continue

Pour démontrer qu'une fonction $f:A\subset E\to F$ est continue, on peut :

  • prouver qu'elle est lipschitzienne (voir cet exercice);
  • utiliser les théorèmes généraux (fonction polynomiale, composition, opérations (voir cet exercice);
  • démontrer que l'image réciproque de tout ouvert de $F$ est un ouvert (relatif) de $A$, ou que l'image réciproque de tout fermé de $F$ est un fermé (relatif) de $A$. Cette méthode n'est en général utilisée que lors d'exercices théoriques, souvent en lien avec la compacité.

Démontrer qu'une application linéaire est continue

Pour démontrer qu'une application linéaire $u:E\to F$ est continue, on cherche une constante $C>0$ telle que, pour tout $x\in E$, on ait $\|u(x)\|\leq C\|x\|$ (voir cet exercice).

Démontrer qu'une application linéaire n'est pas continue

Pour démontrer qu'une application linéaire $u:E\to F$ n'est pas continue, on peut chercher une suite $(x_n)$ de $E$ avec $\|x_n\|=1$ et $\|u(x_n)\|\to+\infty$ (voir cet exercice).

Calculer la norme subordonnée d'une application linéaire continue

Pour calculer la norme d'une application linéaire continue $u:(E,\|\cdot\|)\to (F,\|\cdot\|)$, on procède ainsi :

  • on cherche, à l'aide des techniques de majoration usuelles, une constante $C>0$ telle que, pour tout $x\in E$, on a $\|u(x)\|\leq C\|x\|$. Ceci prouve que $\|u\|_{\textrm{op}}\leq C$.
  • Pour prouver que $\|u\|_{\textrm{op}}\geq C,$ on peut :
    • chercher un élément $x\in E$ pour lequel $\|u(x)\|=C\|x\|$;
    • parfois, notamment en dimension infinie, il est impossible de trouver un tel élément. On cherche alors une suite $(x_n)$ telle que $\frac{\|u(x_n)\|}{\|x_n\|}$ converge vers $C$;

(voir cet exercice).

Démontrer qu'une application est lipschitzienne

Pour démontrer qu'une application définie sur un intervalle de $\mathbb R$ est lipschitzienne, on peut utiliser l'inégalité des accroissements finis (voir cet exercice). Si elle est définie sur un espace vectoriel normé, il faut essayer de majorer. On peut passer à utiliser l'inégalité triangulaire (voir cet exercice).

Topologie des espaces vectoriels normés