Méthodes : polynôme d'endomorphismes
Étudier la diagonalisabilité d'une matrice $A$ à l'aide d'un polynôme annulateur
Pour étudier si une matrice $A$ est diagonalisable, on peut utiliser le fait qu'elle est diagonalisable si et seulement si elle annule un polynôme annulateur scindé à racines simples (voir cet exercice).
Calculer les puissances d'une matrice à l'aide d'un polynôme annulateur
Pour calculer les puissances d'une matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$, on peut
- déterminer un polynôme annulateur $P$ de $A$; par exemple, mais pas toujours, on peut utiliser pour $P$ le polynôme caractéristique de $A$;
- effectuer la division euclidienne de $X^k$ par $P$ : $X^k=PQ+R$;
- on a alors $A^k=R(A)$
Déterminer le polynôme minimal d'une matrice
Pour déterminer le polynôme minimal d'une matrice $A$, on peut utiliser l'une des méthodes suivantes :
- calculer les puissances de $A$ et trouver une relation entre elles de degré le plus petit possible;
- chercher le polynôme minimal parmi les diviseurs du polynôme caractéristique, en se souvenant que ces deux polynômes ont les mêmes racines;
- chercher à étudier si $A$ est diagonalisable, dans ce cas, son polynôme minimal est $(X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_p)$ où $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ sont les valeurs propres distinctes de $A$
Exploiter l'existence d'un polynôme annulateur pour en déduire des informations sur le déterminant, la trace d'une matrice
Pour déterminer des propriétés sur le déterminant ou la trace d'une matrice $A$ sachant qu'il existe un polynôme $P$ tel que $P(A)=0$, on peut
- factoriser $P$; les valeurs propres de $A$ sont contenues dans les racines de $P$;
- exprimer la propriété voulue à l'aide des valeurs propres (le déterminant est le produit des valeurs propres quand la matrice est diagonalisable,….);
- quand la matrice est réelle, on pourra utiliser que la multiplicité d'une valeur propre est égale à la multiplicité de la valeur propre conjuguée;