Méthodes : groupes
Démontrer que $(G,\star)$ est un groupe
Pour démontrer qu'un ensemble $(G,\star)$ est un groupe, on peut
- vérifier tous les points de la définition d'un groupe (voir cet exercice);
- vérifier qu'il s'agit d'un sous-groupe d'un groupe connu (voir cet exercice).
Démontrer que $H$ est un sous-groupe de $G$
Pour démontrer que $H$ est un sous-groupe de $G$, on peut :
- utiliser le théorème de caractérisation des sous-groupes, c'est-à-dire
que l'on prouve que
- $e\in H$.
- Si $x,y\in H$, alors $xy\in H$.
- Si $x\in H$, alors $x^{-1}\in H$.
- démontrer que $H$ est l'image directe ou l'image réciproque d'un sous-groupe par un morphisme de groupes; en particulier, ceci s'applique si $H$ est le noyau d'un morphisme de groupes;
- démontrer que $H$ est le sous-groupe engendré par une partie de $G$.
Calculer l'ordre d'un élément dans un groupe
Pour calculer l'ordre d'un élément $x$ dans un groupe, on peut
- calculer les puissances successives $x^2,$ $x^3,$ etc... jusqu'à trouver l'élément neutre (voir cet exercice);
- déterminer $n\geq 1$ tel que $x^n=e,$ puis chercher parmi les diviseurs $d$ de $n$ le plus petit vérifiant $x^d=e$ (voir cet exercice);
- trouver $d$ tel que $x^d=e$ puis prouver que si $x^r=e$, alors $d|r$ (voir cet exercice).
Démontrer que deux groupes ne sont pas isomorphes
Pour démontrer que deux groupes $G$ et $G'$ ne sont pas isomorphes, on procède souvent par l'absurde en supposant l'existence d'un isomorphisme de $G$ sur $G',$ et en trouvant une propriété conservée par isomorphisme (ordre d'un élément, existence d'une solution à une équation, etc...) qui est vérifiée par un des deux groupes et par par l'autre (voir cet exercice).
Déterminer tous les morphismes
Pour déterminer tous les morphismes d'un groupe $G$ dans un groupe $G',$ on peut :
- utiliser une partie génératrice de $G$ : il suffit de connaitre l'image de chaque élément de cette partie génératrice pour connaitre entièrement le morphisme de groupe. En particulier, si $f:G\to H$ et si $G$ est un groupe monogène engendré par $a$, alors $f$ est entièrement déterminé par $f(a)$ (voir cet exercice).
- utiliser des propriétés sur $G$ et $G'$ qui vont que le seul morphisme existant est le morphisme trivial (qui envoie tout élément de $G$ sur l'élément neutre de $G'$ - voir cet exercice).
Travailler dans les groupes finis
- Dans les groupes finis, on pourra souvent utiliser que si $x$ est un élément du groupe, $\{x^n;\ n\in\mathbb N\}$ est fini.
- Dans un groupe fini $G$, on réalise parfois une partition de $G$ en ensembles disjoints ayant certaines propriétés, et on réalise un dénombrement (voir cet exercice ou cet exercice).