$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Méthodes : Fonctions définies par une intégrales

Comment utiliser le théorème de convergence dominée?
(voir cet exercice).
Comment permuter une série et une intégrale?

Pour permuter une série et une intégrale, $\sum_{n\geq 1}\int_I u_n(t)dt$, on peut

  • appliquer le théorème d'intégration terme à terme (voir cet exercice).
  • dans certains cas, le théorème d'intégration terme à terme ne fonctionne pas, et il faut revenir à une application directe du théorème de convergence dominée avec la suite des sommes partielles $S_N(t)=\sum_{n=1}^N u_n(t)$ ou la suite des restes $R_N(t)=\sum_{n\geq N+1}u_n(t)$ (voir cet exercice ou celui-ci).
Comment écrire une intégrale comme la somme d'une série?

Pour écrire une intégrale comme la somme d'une série,

  • on commence par faire apparaître une série à l'intérieur de l'intégrale. Pour cela, on utilise souvent ou bien la somme d'une série géométrique, ou bien les développements en série entière.
  • on permute l'intégrale et la série, par exemple en utilisant le théorème d'intégration terme à terme, ou en utilisant le théorème de convergence dominée sur les sommes partielles

(voir cet exercice).

Comment déterminer la limite d'une suite d'intégrales dont les bornes varient?

Pour déterminer la limite d'une suite d'intégrales du type $\int_{a_n}^{b_n}f_n(t)dt,$ où les bornes de l'intégrale varient aussi avec $n$, il est souvent judicieux de prolonger $f_n$ par la fonction nulle pour se ramener à l'intégrale sur un intervalle fixe, puis d'appliquer les méthodes usuelles comme le théorème de convergence dominée (voir cet exercice).

Comment démontrer la continuité d'une intégrale à paramètres?

Pour démontrer la continuité d'une intégrale à paramètres, on applique le théorème de continuité des intégrales. Le plus difficile est souvent de trouver la fonction majorante. Pour cela,

  • lorsque qu'on veut démontrer la continuité sur $\mathbb R$ d'une fonction du type $F(x)=\int_I f(x,t)dt$, il suffit de la démontrer sur tout segment $[a,b]\subset \mathbb R$ et donc d'appliquer le théorème de continuité d'une intégrale à paramètres avec $x\in [a,b]$ (avec $a<b$ quelconques). Ceci simplifie parfois l'obtention de la fonction majorante. Le même raisonnement s'applique pour la dérivabilité des intégrales à paramètres (voir cet exercice).
  • lorsque l'intervalle d'intégration $I$ est un segment, l'hypothèse de domination est souvent plus facile à obtenir par un argument de compacité. En effet, supposons que $u$ soit continue comme fonction des deux variables sur $[a,b]\times I$. Alors, ce dernier ensemble étant compact, il existe $M>0$ tel que, pour tout $(x,t)\in [a,b]\times I$, $|u(x,t)|\leq M$. Et les constantes sont intégrables sur les segments! (voir cet exercice).
Comment démontrer qu'une fonction définie par une intégrale à paramètres est $\mathcal C^\infty$?

Soit $I,J$ deux intervalles, $f:J\times I\to \mathbb K$ telle que, pour tout $x\in J,$ $t\in I\mapsto f(x,t)$ est intégrable sur $I$. Pour $x\in J,$ on pose $\displaystyle F(x)=\int_I f(x,t)dt.$ Pour démontrer que $F$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $J$, il suffit de vérifier que

  • pour tout $t\in I,$ la fonction $x\in J\mapsto f(x,t)$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $J$;
  • pour tout $k\in\mathbb N,$ pour tout $x\in J,$ la fonction $t\mapsto \frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$;
  • pour tout $k\in\mathbb N,$ pour tout segment $K\subset J$, il existe une fonction $\varphi_k:I\to\mathbb R_+$ intégrable telle que, pour tout $x\in K,$ pour tout $t\in I,$ $$\left|\frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x,t)\right|\leq\varphi_k(t)$$
(voir cet exercice).
Comment trouver un équivalent ou un développement asymptotique d'une intégrale à paramètres?

Pour trouver un équivalent ou un développement asymptotique d'une suite d'intégrales ou d'une fonction définie par une intégrale, on peut :

  • remplacer la fonction par une fonction plus simple que l'on sait intégrer et essayer de conclure en montrant que la différence est négligeable devant un des deux (voir cet exercice);
  • effectuer un développement asymptotique de la fonction que l'on intègre et démontrer que l'intégrale du développement asymptotique est le développement asymptotique recherché (voir cet exercice);
  • transformer l'écriture de l'intégrale par exemple en effectuant une intégration par parties ou un changement de variables (voir cet exercice);
  • encadrer la fonction à intégrer par deux fonctions plus faciles dont on sait déterminer une primitive (voir cet exercice).
Comment calculer certaines intégrales à paramètres?

Pour calculer certaines intégrales à paramètres du type $F(x)=\int_I f(x,t)dt,$ on utilise le théorème de dérivation sous le signe intégrale, qui nous donne sous certaines hypothèses que $\displaystyle F'(x)=\int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt.$ Ensuite,

  • il est possible qu'on puisse directement calculer $f'$ et qu'on retrouve $f$ par primitivation (voir cet exercice);
  • il est possible qu'on puisse former une équation différentielle sur $f$ que l'on résout pour déterminer $f$ (voir cet exercice).
Permutation limites/intégrales et fonctions définies par une intégrale