Méthodes : Fonctions définies par une intégrales
Pour permuter une série et une intégrale, $\sum_{n\geq 1}\int_I u_n(t)dt$, on peut
- appliquer le théorème d'intégration terme à terme (voir cet exercice).
- dans certains cas, le théorème d'intégration terme à terme ne fonctionne pas, et il faut revenir à une application directe du théorème de convergence dominée avec la suite des sommes partielles $S_N(t)=\sum_{n=1}^N u_n(t)$ ou la suite des restes $R_N(t)=\sum_{n\geq N+1}u_n(t)$ (voir cet exercice ou celui-ci).
Pour écrire une intégrale comme la somme d'une série,
- on commence par faire apparaître une série à l'intérieur de l'intégrale. Pour cela, on utilise souvent ou bien la somme d'une série géométrique, ou bien les développements en série entière.
- on permute l'intégrale et la série, par exemple en utilisant le théorème d'intégration terme à terme, ou en utilisant le théorème de convergence dominée sur les sommes partielles
Pour déterminer la limite d'une suite d'intégrales du type $\int_{a_n}^{b_n}f_n(t)dt,$ où les bornes de l'intégrale varient aussi avec $n$, il est souvent judicieux de prolonger $f_n$ par la fonction nulle pour se ramener à l'intégrale sur un intervalle fixe, puis d'appliquer les méthodes usuelles comme le théorème de convergence dominée (voir cet exercice).
Pour démontrer la continuité d'une intégrale à paramètres, on applique le théorème de continuité des intégrales. Le plus difficile est souvent de trouver la fonction majorante. Pour cela,
- lorsque qu'on veut démontrer la continuité sur $\mathbb R$ d'une fonction du type $F(x)=\int_I f(x,t)dt$, il suffit de la démontrer sur tout segment $[a,b]\subset \mathbb R$ et donc d'appliquer le théorème de continuité d'une intégrale à paramètres avec $x\in [a,b]$ (avec $a<b$ quelconques). Ceci simplifie parfois l'obtention de la fonction majorante. Le même raisonnement s'applique pour la dérivabilité des intégrales à paramètres (voir cet exercice).
- lorsque l'intervalle d'intégration $I$ est un segment, l'hypothèse de domination est souvent plus facile à obtenir par un argument de compacité. En effet, supposons que $u$ soit continue comme fonction des deux variables sur $[a,b]\times I$. Alors, ce dernier ensemble étant compact, il existe $M>0$ tel que, pour tout $(x,t)\in [a,b]\times I$, $|u(x,t)|\leq M$. Et les constantes sont intégrables sur les segments! (voir cet exercice).
Soit $I,J$ deux intervalles, $f:J\times I\to \mathbb K$ telle que, pour tout $x\in J,$ $t\in I\mapsto f(x,t)$ est intégrable sur $I$. Pour $x\in J,$ on pose $\displaystyle F(x)=\int_I f(x,t)dt.$ Pour démontrer que $F$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $J$, il suffit de vérifier que
- pour tout $t\in I,$ la fonction $x\in J\mapsto f(x,t)$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $J$;
- pour tout $k\in\mathbb N,$ pour tout $x\in J,$ la fonction $t\mapsto \frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$;
- pour tout $k\in\mathbb N,$ pour tout segment $K\subset J$, il existe une fonction $\varphi_k:I\to\mathbb R_+$ intégrable telle que, pour tout $x\in K,$ pour tout $t\in I,$ $$\left|\frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x,t)\right|\leq\varphi_k(t)$$
Pour trouver un équivalent ou un développement asymptotique d'une suite d'intégrales ou d'une fonction définie par une intégrale, on peut :
- remplacer la fonction par une fonction plus simple que l'on sait intégrer et essayer de conclure en montrant que la différence est négligeable devant un des deux (voir cet exercice);
- effectuer un développement asymptotique de la fonction que l'on intègre et démontrer que l'intégrale du développement asymptotique est le développement asymptotique recherché (voir cet exercice);
- transformer l'écriture de l'intégrale par exemple en effectuant une intégration par parties ou un changement de variables (voir cet exercice);
- encadrer la fonction à intégrer par deux fonctions plus faciles dont on sait déterminer une primitive (voir cet exercice).
Pour calculer certaines intégrales à paramètres du type $F(x)=\int_I f(x,t)dt,$ on utilise le théorème de dérivation sous le signe intégrale, qui nous donne sous certaines hypothèses que $\displaystyle F'(x)=\int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt.$ Ensuite,
- il est possible qu'on puisse directement calculer $f'$ et qu'on retrouve $f$ par primitivation (voir cet exercice);
- il est possible qu'on puisse former une équation différentielle sur $f$ que l'on résout pour déterminer $f$ (voir cet exercice).