Méthodes : espaces probabilisés dénombrables
Pour démontrer qu'une partie $\mathcal T$ de $\mathcal P(\Omega)$ est une tribu, on revient le plus souvent à la définition (voir cet exercice).
Pour démontrer qu'une suite $(p_n)_{n\in\mathbb N}$ définit une probabilité sur $\Omega=\{x_n:\ n\in\mathbb N\},$ en posant $p(\{x_n\})=p_n,$ il suffit de vérifier que $p_n\geq 0$ pour tout $n\in\mathbb N$ et que $\sum_{n\in\mathbb N}p_n=1$ (voir cet exercice).
Si la suite $(p_n)$ dépend d'un paramètre, on utilise souvent le fait $\sum_{n=0}^{+\infty}p_n$ doit valoir $1$ pour trouver la valeur de ce paramètre (voir cet exercice).
Pour calculer la probabilité d'une réunion d'événements $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ d'événements, $A=\bigcup_{n=0}^{+\infty}A_n,$ on peut
- si les événements $A_n$ sont incompatibles utiliser la formule $P(A)=\sum_{n\in \mathbb N}P(A_n)$ (voir cet exercice);
- si la suite d'événements $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ est croissante, c'est-à-dire si $A_n\subset A_{n+1}$ pour tout $n\in\mathbb N,$ utiliser la continuité croissante $P(A)=\lim_{n\to+\infty}P(A_n)$ (voir cet exercice);
- si les événements $A_n$ sont indépendants calculer la probabilité en passant au complémentaire (voir cet exercice);
Pour calculer la probabilité d'une intersection infinie $A=\bigcap_{n=0}^{+\infty}A_n,$ si la suite d'événements $(A_n)$ est décroissante, c'est-à-dire que $A_{n+1}\subset A_n$ pour tout $n\in\mathbb N^*$, on peut utiliser la propriété de continuité décroissante qui donne $P(A)=\lim_{n\to+\infty}P(A_n)$ (voir cet exercice).
Pour calculer la probabilité d'une intersection finie $A_1\cap\cdots\cap A_n$ d'événements, on peut
- écrire $P(A_1\cap\cdots\cap A_n)=P(A_1)\times\dots\times P(A_n)$ si les événements sont indépendants;
- utiliser la formule des probabilités composées (voir cet exercice).
Pour résoudre un exercice faisant intervenir des probabilités conditionnelles, il est souvent utile de donner un nom aux événements considérés dans l'énoncé et d'écrire les probabilités données par l'énoncé (voir cet exercice).
Si on cherche la probabilité d'un certain événement, et que l'on connait la probabilité de cet événement lorsque d'autres événements sont réalisés, on peut utiliser la formule des probabilités totales (voir cet exercice).
Lorsque l'on connait $P(A|B)$ et que l'on souhaite calculer $P(B|A)$, on utilise la formule de Bayes.