Méthodes : équations différentielles
Résolution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1
Si on veut résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre $1,$ $y'(x)+a(x)y(x)=b(x)$, alors
- on commence par chercher les solutions de l'équation homogène $y'(x)+a(x)y(x)=0$. Soit $A$ une primitive de la fonction $a$. Les solutions de l'équation homogène sont les fonctions $x\mapsto \lambda e^{-A(x)}$, $\lambda$ une constante réelle ou complexe. En particulier, si $a$ est une fonction constante, les solutions de l'équation homogène sont les fonctions $x\mapsto \lambda e^{-ax}$.
- on cherche alors une solution particulière de l'équation $y'(x)+a(x)y(x)=b(x)$,
- soit en cherchant une solution évidente (voir cet exercice);
- soit, si $a$ est une constante, en cherchant une solution du même type que $b$ (un polynôme si $b$ est un polynôme,...) (voir cet exercice);
- soit en utilisant la méthode de variation de la constante : on cherche une solution sous la forme $y(x)=\lambda(x)y_0(x)$, où
$y_0$ est une solution de l'équation homogène. On a alors
$$y'(x)=\lambda'(x)y_0(x)+\lambda(x)y_0'(x)$$
et donc $$y'(x)+a(x)y(x)=\lambda(x)(y_0'(x)+a(x)y_0(x))+\lambda'(x)y_0(x).$$
Tenant compte de $y_0'+ay_0=0$, $y$ est solution de l'équation $y'+ay=b$ si et seulement si
$$\lambda'(x)y_0(x)=b(x).$$
On doit alors trouver une primitive de $b(x)/y_0(x)$ pour trouver une solution particulière (voir cet exercice).
- si le second membre s'écrit sous la forme $b(x)=b_1(x)+b_2(x)$, on peut aussi utiliser le principe de superposition des solutions : on cherche une solution $y_1$ à l'équation $y'(x)+a(x)y(x)=b_1(x)$ et une solution $y_2$ à l'équation $y'(x)+a(x)y(x)=b_2(x)$. Alors $y_1+y_2$ est une solution à $y'(x)+a(x)y(x)=b(x)$ (voir cet exercice).
- les solutions de l'équation $y'+ay=b$ s'écrivent comme la somme de cette solution particulière et des solutions de l'équation homogène.
Résolution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants
Si on doit résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants, $y''(x)+ay'(x)+by(x)=f(x)$, alors on commence par rechercher les solutions de l'équation homogène : $y''+ay'+by=0$. Pour cela, on introduit l'équation caractéristique $$r^2+ar+b=0.$$ La résolution de l'équation homogène dépend alors de si l'on se place sur $\mathbb R$ ou sur $\mathbb C$ :
- Résolution de l'équation homogène, cas complexe :
- si l'équation caractéristique admet deux racines $r_1$ et $r_2$, alors les solutions de l'équation homogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions $$x\mapsto \lambda e^{r_1 x}+\mu e^{r_2 x}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb C.$$
- si l'équation caractéristique admet une racine double $r$, alors les solutions de l'équation homogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions $$x\mapsto (\lambda x+\mu)e^{rx}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb C.$$
- Résolution de l'équation homogène, cas réel :
- si l'équation caractéristique admet deux racines réelles $r_1$ et $r_2$, alors les solutions de l'équation homogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions $$x\mapsto \lambda e^{r_1 x}+\mu e^{r_2 x}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb R.$$
- si l'équation caractéristique admet une racine double $r$, alors les solutions de l'équation homogène $y''+ay'+by=0$ sont les fonctions $$x\mapsto (\lambda x+\mu)e^{rx}\quad\textrm{ avec }\lambda,\mu\in\mathbb R.$$
- si l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées, $\alpha\pm i\beta$, alors les solutions de l'équation homogène sont les fonctions $$x\mapsto \lambda e^{\alpha x}\cos(\beta x)+\mu e^{\alpha x}\sin(\beta x).$$
On cherche ensuite une solution particulière :
- si $f$ est un polynôme, on cherche une solution particulière sous la forme d'un polynôme (voir cet exercice).
- si $f(x)=A\exp(\lambda x)$, on cherche une solution particulière sous la forme
- $B\exp(\lambda x)$ si $\lambda$ n'est pas racine de l'équation caractéristique;
- $Bx\exp(\lambda x)$ si $\lambda$ est racine simple de l'équation caractéristique;
- $Bx^2\exp(\lambda x)$ si $\lambda$ est racine double de l'équation caractéristique.
- si $f(x)=B\cos(\omega x)$, on cherche une solution sous la forme $y(x)=a\cos(\omega x)+b\sin(\omega x)$ sauf si l'équation homogène est $y''+\omega^2 y=0$. Dans ce cas, on cherche une solution sous la forme $y(x)=ax\sin(\omega x)$.
- si $f(x)=B\sin(\omega x)$, on cherche une solution sous la forme $y(x)=a\cos(\omega x)+b\sin(\omega x)$ sauf si l'équation homogène est $y''+\omega^2 y=0$. Dans ce cas, on cherche une solution sous la forme $y(x)=ax\cos(\omega x)$.
- remarquons que le cas où le second membre est de la forme $\cos(\omega x)$ ou $\sin(\omega x)$ peut aussi être traitée en utilisant $\cos(\omega x)=\Re e(e^{i\omega x})$, en procédant comme décrit ci-dessous pour $e^{\lambda x}$ avec $\lambda=i\omega$, et en prenant la partie réelle de la solution particulière trouvée. Cette méthode fonctionne aussi si le second membre est de la forme $e^{ax} \cos(bx)$ (voir cet exercice).
- Plus généralement, si $f(x)=P(x)\exp(\lambda x)$, avec $P$ un polynôme, on cherche une solution sous la forme $Q(x)\exp(\lambda x)$ (voir cet exercice).
- Dans les autres cas, on peut utiliser la méthode de variation des constantes (voir cet exercice).
Enfin, les solutions de l'équation $y''+ay'+by=f$ s'écrivent comme la somme de cette solution particulière et des solutions de l'équation homogène.
Problème du raccordement des solutions
Soit à résoudre l'équation différentielle $a(x)y'(x)+b(x)y(x)=c(x)$ avec $a,b,c:\mathbb R\to \mathbb R$ continues. On suppose que $a$ s'annule seulement en $x_0$. Pour résoudre l'équation différentielle sur $\mathbb R$,
- on commence par résoudre l'équation sur $]-\infty,x_0[$ et sur $]x_0,+\infty[$, là où $a$ ne s'annule pas ;
- on écrit qu'une solution définie sur $\mathbb R$ est une solution sur $]-\infty,x_0[$ et aussi sur $]x_0,+\infty[$. On écrit ces restrictions en utilisant le point précédent. Ces solutions font intervenir des constantes qui sont a priori différentes ;
- on étudie si les restrictions à $]-\infty,x_0[$ et à $]x_0,+\infty[$ admettent une limite (finie) commune en $x_0$. On peut ainsi prolonger la fonction à $\mathbb R$ tout entier. Éventuellement, ceci impose des contraintes sur les constantes ;
- on étudie si les dérivées des restrictions à $]-\infty,x_0[$ et à $]x_0,+\infty[$ admettent une limite (finie) commune en $x_0$. La fonction prolongée est ainsi dérivable en $x_0$. Éventuellement, ceci impose d'autres contraintes sur les constantes ;
- on vérifie qu'on a bien obtenu une solution.
Résolution des systèmes homogènes à coefficients constants
Pour résoudre une équation différentielle linéaire homogène à coefficient constants $X'=AX$,
- si $A$ est diagonalisable, de vecteurs propres $X_1,\dots,X_n$ associés aux valeurs propres $\lambda_1,\dots,\lambda_n$, une base de l'ensemble des solutions est $(e^{\lambda_1t}X_1,\dots,e^{\lambda_n t}X_n)$ (voir cet exercice) ;
- si $\mathbb K=\mathbb R$ et $A$ est diagonalisable sur $\mathbb C$ mais pas sur $\mathbb R$, on résout d'abord sur $\mathbb C$ puis on en déduit une base de solutions à valeurs réelles grâce aux parties réelles et imaginaires des solutions complexes ; par exemple, si $A\in\mathcal M_3(\mathbb R)$ est diagonalisable sur $\mathbb C$ et non sur $\mathbb R$, elle admet une valeur propre réelle $\lambda$, de vecteur propre associé $V$ et deux valeurs propres complexes conjuguées $\mu$ et $\bar \mu,$ de vecteurs propres respectifs associés $W$ et $\bar W$. Alors une base de l'ensemble des solutions est $\big(e^{\lambda t}V,\Re e(e^{\mu t}W),\Im m (e^{\mu t}W)\big)$ (voir cet exercice) ;
- si $A$ est seulement trigonalisable :
Soulignons que cette méthode ne nécessite pas de calculer $P^{-1}$ (voir cet exercice) ;
- on trigonalise $A$ sous la forme $A=PTP^{-1}$ ;
- en posant $Y=P^{-1} X,$ on obtient que $Y$ est solution du système différentiel $Y'=TY$ ; ce système différentiel est triangulaire et on peut le résoudre ligne par ligne, du bas vers le haut ;
- on obtient alors les solutions recherchées à l'aide de la relation $Y=PX$.
- on peut aussi calculer l'exponentielle de $A$. Le calcul est plus facile si on connait un polynôme annulateur de $A$ voir cet exercice).
Résolution des systèmes à coefficients constants avec second membre
Pour résoudre une équation différentielle linéaire homogène à coefficient constants $X'=AX+B$, on commence par chercher une solution évidente. On conclut alors en résolvant le système homogène, sachant que la solution générale du système avec second membre est somme d'une solution particulière et de la solution générale du système homogène.
Si on ne trouve pas de solution évidente, on applique la méthode suivante :
- on diagonalise ou trigonalise la matrice $A$ du système ;
- écrivant $A=PDP^{-1},$ on pose $Y=P^{-1}X$ et $C=P^{-1}B$. Alors le système $X'=AX+B$ est équivalent à $Y'=DY+C$ ;
- ce système est diagonal si $A$ est diagonalisable, triangulaire si $A$ est trigonalisable. On résout ce système de bas en haut, puis on revient à $X$ par la formule $X=PY$
(voir cet exercice). Soulignons que cette méthode nécessite de calculer $P^{-1}$.
Résolution d'une équation du second degré par la méthode d'abaissement de l'ordre
Soit à résoudre sur un intervalle $I$ une équation différentielle du second ordre
$$x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=0,$$
dont on connait une solution particulière $x_p(t)$ qui ne s'annule pas sur $I$. On pose $y(t)=x(t)/x_p(t)$. Alors la fonction $y'$ est solution d'une équation différentielle
du premier ordre. On peut résoudre cette équation différentielle, pour déterminer $y'$, puis $y$ (voir cet exercice).
Résoudre une équation différentielle à l'aide des séries entières
Pour résoudre une équation différentielle à l'aide des séries entières,
- on commence par supposer qu'il existe une solution $S(x)=\sum_n a_n x^n$ développable en série entière;
- on introduit cette solution dans l'équation, en dérivant terme à terme pour exprimer $S'(x),\dots$;
- par des changements d'indice, on se ramène à une écriture du type $\sum_n b_n x^n=0$, où la suite $(b_n)$ s'écrit en fonction de la suite $(a_n)$;
- par unicité des coefficients d'une série entière, on sait que $b_n=0$;
- cela doit permettre de trouver la suite $(a_n)$ en fonction éventuellement de certains paramètres;
- réciproquement, on vérifie que la série entière $\sum_n a_n x^n$ a un rayon de convergence non nul et qu'elle est solution de l'équation différentielle.
Équations différentielles