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Méthodes : Fonctions convexes

Démontrer qu'une fonction est convexe

Pour démontrer qu'une fonction $f:I\to\mathbb R$ est convexe, on peut

  • si $f$ est deux fois dérivable, vérifier que sa dérivée seconde est positive (voir cet exercice).
  • dans des exercices plus théoriques, revenir simplement à la définition d'une fonction convexe (voir cet exercice ou celui-ci).
Etudier des propriétés de fonctions convexes

Pour démontrer certaines propriétés vérifiées par des fonctions convexes (comportement à l'infini, extrema,...), l'inégalité des pentes ou la position de la courbe représentative d'une fonction convexe par rapport à ses sécantes sont très souvent très utiles! (voir cet exercice).

Démontrer une inégalité faisant intervenir une fonction $f$ et une fonction affine

Pour démontrer une inégalité entre une fonction $f$ et une fonction affine, on étudie souvent la convexité de $f$. Puis on utilise la position relative de la courbe représentative d'une fonction convexe et de ses tangentes, ou de la courbe représentative d'une fonction convexe et de ses sécantes (voir cet exercice).

Démontrer une inégalité faisant intervenir une somme de $n$ valeurs

Pour démontrer une inégalité faisant intervenir une somme de $n$ termes, avec $n\geq 2$, il faut essayer de reconnaître une application de l'inégalité de Jensen (voir cet exercice).