Méthodes : calcul différentiel
Pour démontrer qu'une fonction $f:\mathbb R^2\backslash\{(0,0)\}\to\mathbb R$ n'admet pas de limite en $(0,0)$, on peut utiliser une des conditions nécessaires suivantes : si $f$ admet pour limite $\ell$ en $(0,0)$, alors
- $f(t,0)$ tend vers $\ell$ lorsque $t$ tend vers $0$ ;
- $f(0,t)$ tend vers $\ell$ lorsque $t$ tend vers $0$ ;
- pour tout $\lambda\in\mathbb R,$ $f(t,\lambda t)$ tend vers $\ell$ lorsque $t$ tend vers $0$ ;
- si $u:]0,+\infty[\to \mathbb R^2\backslash\{(0,0)\}$ est telle que $u(t)\to (0,0)$ lorsque $t$ tend vers $0,$ alors $f(u(t))$ tend vers $\ell.$
Il suffit donc qu'une des limites précédentes n'existe pas ou que deux des limites précédentes sont différentes pour prouver que $f$ n'admet pas de limite en $(0,0)$.
Pour démontrer que $f$ admet une limite en $(0,0)$, on commence par deviner la limite $\ell$, par exemple en étudiant les limites de $f(t,0)$ ou de $f(0,t)$. On majore ensuite $|f(x,y)-\ell|$ par une quantité $\veps(x,y)$ qui tend vers $0$ lorsque $(x,y)$ tend vers $(0,0)$. Pour cela on utilise :
- toutes les techniques classiques de majoration ;
- les inégalités classiques sur les fonctions d'une variable réelle : $$|\sin(x)|\leq 1\textrm{ ou }|\sin(x)|\leq |x|,\ \ln(1+x)\leq x\textrm{ pour }x>-1,\dots$$
- certaines techniques spécifiques aux fonctions de deux variables : par exemple, $\displaystyle |x|\leq \sqrt{x^2+y^2}$ ou plus généralement $$|x|\leq (x^p+y^q)^{1/p}\textrm{ pour }x,y>0.$$
(Voir cet exercice ou cet exercice).
Pour une fonction "concrète", en les points qui ne posent pas de problèmes, on calcule les dérivées partielles par rapport à une variable comme les dérivées usuelles, en supposant que les autres variables sont des constantes (voir cet exercice).
En les points "litigieux", on revient souvent à la définition : la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$ existe si la fonction $x\mapsto f(x,y_0)$ est dérivable en $x_0,$ c'est-à-dire si le taux d'accroissement $$\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$ admet une limite lorsque $h$ tend vers $0$ (voir cet exercice).
Si la fonction apparaît comme une fonction composée, alors on utilise la règle de la chaine (voir cet exercice).
On suppose qu'on a une fonction $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ définie sur $\mathbb R^2\backslash\{a\}$ par un formule faisant intervenir des fonctions usuelles et avec un point $a$ litigieux. Pour démontrer que $f$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R^2$ :
- on vérifie que $f$ est continue en $a$ ;
- on vérifie que $f$ est $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R^2\backslash\{a\}$ ;
- on calcule les dérivées partielles de $f$, d'abord sur $\mathbb R^2\backslash\{a\}$, puis en $a$ (en utilisant les taux d'accroissement), et on vérifie que les dérivées partielles sont continues en $a.$
Pour démontrer que $f$ n'est pas de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R^2,$ il suffit qu'une des étapes précédentes ne fonctionne pas (voir cet exercice et cet exercice).
Pour démontrer qu'une fonction est différentiable en $a$, on peut
- utiliser le fait que la somme, le produit ou la composée d'applications différentiables est différentiable.
- démontrer que $f$ est de classe $C^1$ (voir cet exercice).
- obtenir explicitement un développement limité à l'ordre $1$ (voir cet exercice)
- deviner la forme de la différentielle en utilisant les dérivées partielles, puis revenir à la définition (voir cet exercice).
- démontrer que $f$ n'est pas continue en $a$ (voir cet exercice) ou que $f$ n'admet pas certaines dérivées partielles en $a$ ;
- si $f$ est continue en $a$ et si toutes les dérivées partielles de $f$ existent en $a,$ alors on peut procéder par l'absurde : supposer que $f$ est différentiable en $a$. On peut alors calculer la différentielle $\ell$ de $f$ en $a$ à l'aide des dérivées partielles. On essaie alors de prouver que $$\frac{f(a+h)-f(a)-\ell(h)}{\|h\|}$$ ne tend pas vers $0$ lorsque $h$ tend vers $0$ (voir cet exercice).
Pour résoudre une équation aux dérivées partielles linéaires (c'est-à-dire une équation faisant intervenir les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ d'une fonction $f$ de classe $C^1$), on se ramène par un changement de variables à une équation du du type $$\frac{\partial f}{\partial x}=h,$$ où $h$ est une fonction continue. Les solutions de cette équations sont les fonctions du type $$f(x,y)=H(x,y)+C(y)$$ où, pour tout $y,$ $x\mapsto H(x,y)$ est une primitive de $x\mapsto h(x,y)$ et $C$ est une fonction (d'une seule variable). Suivant la primitive choisie, il faudra bien prendre garde à ce que l'on obtienne bien une fonction de classe $C^1$.
Par exemple, pour une équation aux dérivées partielles linéaires du type $$a\frac{\partial f}{\partial x}+b\frac{\partial f}{\partial y}=0,$$ on peut
- effectuer un changement de variables linéaires $u=\alpha x+\beta y$, $v=\alpha' x+\beta' y$, de sorte de se ramener, en posant $F(u,v)=f(x,y)$, à une équation du type $$\frac{\partial F}{\partial u}=0.$$
- résoudre cette équation : ces solutions s'écrivent $F(u,v)=H(v)$ pour une fonction $H$ de classe $C^1$.
- revenir à la fonction de départ.
(voir cet exercice).
La plupart du temps, l'énoncé donnera le changement de variables à utiliser.
Pour déterminer les extrema locaux d'une fonction $f:\mathcal U\to \mathbb R$ qui est de classe $\mathcal C^2$ sur l'ouvert $\mathcal U\subset\mathbb R^n,$ on
- commence par rechercher les points critiques en résolvant le système $$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{\partial f}{\partial x_1}(x)&=&0\\ \frac{\partial f}{\partial x_2}(x)&=&0\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(x)&=&0. \end{array} \right. $$ Rappelons qu'un extremum local d'une fonction de classe $\mathcal C^1$ sur un ouvert $\mathcal U$ est nécessairement atteint en un point critique.
- on étudie la nature de ces points critiques.
Soit $a$ un point critique. On calcule la matrice hessienne $H_f(a)$ de $f$ en $a.$ Si elle est définie positive
(ou encore si toutes les valeurs propres de $H_f(a)$ sont strictement positives),
alors $f$ admet un minimum local en $a,$ et si elle est définie négative (ou encore si toutes les valeurs propres
de $a$ sont strictement négatives), alors $f$ admet un maximum local en $a.$
Lorsque $n=2,$ ceci peut encore se déterminer à l'aide du déterminant et de la trace de $H_f(a)$ :
- si $\det(H_f(a))>0$ et $\textrm{Tr}(H_f(a))> 0,$ alors $f$ admet un minimum local en $a.$
- si $\det(H_f(a))>0$ et $\textrm{Tr}(H_f(a))<0,$ alors $f$ admet un maximum local en $a.$
- si $\det(H_f(a))<0,$ alors $f$ n'admet ni maximum local, ni minimum local en $a$ (on dit que $a$ est un point selle).
- si $\det(H_f(a))=0,$ on ne peut pas conclure
(voir cet exercice en dimension $2$ ou cet exercice en dimension $3$).
Lorsque $H_f(a)$ est définie positive, c'est bien un
minimum local en $a,$ attention à la confusion :
Pour déterminer le minimum ou le maximum d'une fonction sur un compact $K$,
- on commence par dire qu'une fonction continue sur un compact admet un minimum et un maximum, pour en justifier l'existence ;
- le minimum est atteint ou bien sur la frontière du compact, ou bien en un point intérieur ;
- s'il est atteint en un point intérieur, alors ce point est un point critique. On cherche donc les points critiques à l'intérieur du compact, et on cherche la valeur de la fonction en ces points ;
- on étudie la fonction sur le bord du compact, souvent en le découpant en morceaux et en le paramétrant ;
- on compare les minima trouvés à chacune des étapes précédentes
(voir cet exercice ou cet exercice).
Pour déterminer les extrema globaux d'une fonction $f:\mathcal U\to\mathbb R$ où $\mathcal U$ est un ouvert de $\mathbb R^n,$ on commence par rechercher les extrema locaux de $f.$ On étudie ensuite si ces extrema locaux sont des extrema globaux. Pour cela on peut, si $f$ admet un extremum local en $a$,
- essayer d'obtenir une majoration ou une minoration $f(x)\leq f(a),\ f(x)\geq f(a)$ pour tout $x\in\mathbb R^n\ ;$
- démontrer que $f$ n'admet pas de minimum global ou de maximum global en étudiant par exemple les fonctions coordonnées : si $\lim_{x\to+\infty}f(x,0)=+\infty,$ alors $f$ n'admet pas de maximum global ;
- utiliser un argument de compacité pour justifier l'existence d'un maximum ou d'un minimum global : si on prouve que $\lim_{\|(x,y)\|\to+\infty}f(x,y)=+\infty,$ et si $f$ est continue, alors $f$ va admettre un minimum global. On cherche le ou les points où ce minimum global est atteint parmi les points où un minimum local est atteint
(voir cet exercice).
Pour déterminer les extrema globaux d'une fonction $f:\mathcal U\to\mathbb R$ où $\mathcal U$ est un ouvert de $\mathbb R^n$ sous la contrainte $g(x)=0,$ où $g:\mathcal U\to\mathbb R$ est de classe $\mathcal C^1$, on peut :
- essayer d'utiliser la condition $g(x)=0$ pour exprimer une variable en fonction des autres et se ramener à l'étude des extrema locaux d'une fonction de $n-1$ variables (sans contrainte) (voir cet exercice) ;
- utiliser la condition nécessaire du cours : si on note $X=\{x\in\mathcal U:\ g(x)=0\},$ si $f_{|X}$ admet un extremum local en $a$ et si $dg(a)\neq 0,$ alors il existe $\lambda\in\mathbb R$ tel que $dg(x)=\lambda dg(a).$ On étudie ensuite si $a$ est effectivement un extremum local. On démontre parfois l'existence d'un extremum local à l'aide d'un argument de compacité (voir cet exercice).