$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : anneaux

Démontrer que $(A,+,\times)$ est un anneau

Pour démontrer que $(A,+,\times)$ est un anneau, ou bien on vérifie toutes les propriétés de la définition, ou bien on démontre que c'est un sous-anneau d'un anneau fixé. Dans ce dernier cas, on utilise le théorème de caractérisation des sous-anneaux (voir cet exercice).

Déterminer les éléments inversibles d'un anneau

Pour déterminer les éléments inversibles d'un anneau, on fait souvent un raisonnement par analyse/synthèse. On fixe un élément $a\in A$ et on suppose qu'il est inversible. En utilisant qu'il existe $b\in A$ tel que $ab=1_A,$ on essaie de trouver des conditions nécessaires sur $A$. On trouve alors des éléments dont il faut vérifier qu'ils sont bien inversibles (voir cet exercice).

Parfois, on introduit une quantité numérique associée aux éléments de l'anneau, et on utilise cette quantité pour donner des conditions nécessaires vérifiées par les éléments inversibles (voir cet exercice).

Calcul algébrique dans un anneau
  Pour réaliser des calculs algébriques dans un anneau (calcul de puissances, de sommes à une certaine puissance, factorisation), on peut utiliser les habituelles identités remarquables (dont la formule du binôme de Newton), à condition de travailler avec des éléments qui commutent (voir cet exercice).
Déterminer qu'une partie d'un anneau est un idéal

Pour démontrer qu'une partie $I$ d'un anneau commutatif $A$ est un idéal de $A$, on revient à la définition, c'est-à-dire qu'on prouve que :

  • $0_A\in I;$
  • pour tous $x,y\in I,$ $x-y\in I;$
  • pour tout $a\in A$ et tout $x\in I,$ alors $ax\in I;$

(voir cet exercice ou cet exercice).

Résoudre une équation dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$

Pour résoudre une équation linéaire, ou un système d'équations, dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$, dans le cas où $n$ est premier, on procède comme si l'on travaillait dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$, notamment en utilisant la méthode du pivot de Gauss. On est souvent amené à calculer l'inverse d'un élément $\bar a$ de $\mathbb Z/n\mathbb Z$. Ceci se fait en utilisant l'algorithme d'Euclide (il s'agit en effet de trouver des coefficients de Bézout) (voir cet exercice).

Pour résoudre une équation du second degré, on met le polynôme sous forme canonique, c'est-à-dire qu'on le transforme pour l'écrire sous la forme $(x+\bar a)^2-\bar b=0$. On regarde alors si $\bar b$ est un carré dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$. Si ce n'est pas le cas, l'équation n'admet pas de solutions. Si c'est le cas, ie si $\bar b=\bar c^2$, alors l'équation est équivalente à : $$(x+\bar a-\bar c)(x+\bar a+\bar c)=0.$$ On distingue alors deux cas :

  • si $n$ est premier, et donc $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est un corps, alors on a deux solutions : $x=-\bar a+\bar c$ et $x=-\bar a-\bar c$.
  • si $n$ n'est pas premier, il faut plutôt chercher dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$ toutes les solutions à l'équation $\bar y^2=\bar b$.

(voir cet exercice).

Résoudre un système de congruences

Pour résoudre un système de congruences simultanées, d'inconnue $x\in\mathbb Z,$ on commence par résoudre la première équation, en exprimant $x$ en fonction d'un autre entier $k$. On reporte alors dans la deuxième équation, et on réitère s'il y a plus de deux équations. (voir cet exercice).

Décomposer un polynôme en produit d'irréductibles

Pour décomposer un polynôme $P\in\mathbb C[X]$ en produits d'irréductibles de $\mathbb C[X]$, on trouve des racines $b_1,\dots,b_q$ de $P$ en cherchant des racines évidentes, en utilisant les résultats que l'on connait sur les nombres complexes (résolution des équations de degré 2, recherche de racines $n$-ièmes) ou en suivant les indications de l'énoncé. On peut alors factoriser $P$ en $$P(X)=(X-b_1)\cdots (X-b_p)Q(X)$$ et on recommence avec $Q$ (voir cet exercice).

Pour décomposer un polynôme $P\in\mathbb R[X]$ en produits d'irréductibles de $\mathbb R[X]$, peut commencer par le décomposer en produits d'irréductibles de $\mathbb C[X]$, puis regrouper les facteurs correspondants à deux racines non réelles conjuguées (voir cet exercice).

Déterminer qu'un polynôme est irréductible sur $\mathbb Q$

Pour démontrer qu'un polynôme $P\in\mathbb Q[X]$ est irréductible dans $\mathbb Q[X]$, on peut :

  • s'il est de degré inférieur ou égal à $3$, démontrer qu'il n'admet pas de racines dans $\mathbb Q;$ pour cela, on pourra supposer par l'absurde que $P(p/q)=0$ pour un rationnel $p/q$ et utiliser des propriétés d'arithmétique (théorème de Gauss, etc....);
  • s'il est de degré $4$, vérifier qu'il n'admet pas de racines dans $\mathbb Q,$ puis montrer par l'absurde qu'il est impossible de le factoriser en produit de deux polynômes de degré $2$ de $\mathbb Q[X];$

(voir cet exercice).