$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math Spé : Exercices sur les fonctions à valeurs vectorielles

Dérivation des fonctions à valeurs vectorielles
Exercice 1 - Dérivée d'un produit de deux matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $M:\mathbb R\to\mathcal M_n(\mathbb R),\ t\mapsto M(t)$ une fonction dérivable.
  1. Démontrer que la fonction $\phi:t\in\mathbb R\mapsto M(t)M(t)^T$ est dérivable.
  2. On suppose pour tout $t\in\mathbb R,$ la matrice $M(t)$ est orthogonale. Démontrer que, pour tout $t\in \mathbb R$, $M'(t)M(t)^T$ est antisymétrique.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $I$ un intervalle, $E$ un espace vectoriel euclidien et $f:I\to E$ dérivable. On suppose de plus que $f$ ne s'annule pas et on pose, pour tout $t\in I$, $g(t)=\|f(t)\|$. Démontrer que $g$ est dérivable et donner $g'$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Calcul d'un déterminant par dérivation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x\in\mathbb R$ et $n\geq 1,$ on pose $$D_n(x)=\left| \begin{array}{ccccc} x&1&0&\dots&0\\ x^2/2&x&1&\ddots&\vdots\\ x^3/3!&x^2/2&x&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&&\ddots&1\\ x^n/n!&\dots&\dots&x^2/2!&x \end{array}\right|.$$
  1. Pour tout $x\in \mathbb R,$ calculer $D_n'(x)$.
  2. En déduire $D_n(x)$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Inégalité des accroissements finis pour un espace euclidien [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $f:[a,b]\to E$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$. En considérant $\phi(t)=\langle f(b)-f(a),f(t)\rangle$, démontrer qu'il existe $c\in ]a,b[$ tel que $$\|f(b)-f(a)\|\leq (b-a)\|f'(c)\|.$$
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Inégalité des accroissements finis vectorielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie, $f:[a,b]\to E$ et $g:[a,b]\to\mathbb R$. On suppose que $f$ et $g$ sont dérivables sur $[a,b]$ et que pour tout $t\in [a,b]$, $\|f'(t)\|\leq g'(t)$. Soit $\veps>0$ et $$A_\veps=\{x\in [a,b];\ \forall t\in [a,x],\ \|f(t)-f(a)\|\leq g(t)-g(a)+\veps(t-a)\}.$$
  1. Justifier que $A_\veps$ admet une borne supérieure, puis que $\sup(A_\veps)\in A_\veps$.
  2. Démontrer que $\sup A_\veps=b$.
  3. En déduire que $\|f(b)-f(a)\|\leq g(b)-g(a)$.
Indication
Corrigé
Intégration des fonctions à valeurs vectorielles
Exercice 6 - Pour comprendre l'intégration vectorielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:]-1,1[\to \mathbb R^2$, $t\mapsto(1/\sqrt{1-t^2},2t)$ et $p:\mathbb R^2\to \mathbb R,\ (x,y)\mapsto x+y$. Calculer $$p\left(\int_0^{1/2}f(t)dt\right).$$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Intégrale d'une fonction à image dans un sous-espace [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie, $F$ un sous-espace vectoriel de $E,$ $f:[a,b]\to E$ une fonction continue par morceaux. On suppose que pour tout $t\in [a,b]$, $f(t)\in F$. Démontrer que $\int_a^b f(t)dt\in F$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Majoration d'une intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to E$ de classe $\mathcal C^1$ telle que $f(a)=0$. Démontrer que $$\left\| \int_a^b f(t)dt\right\|\leq \frac{(b-a)^2}2\sup_{t\in [a,b]}\|f'(t)\|.$$
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Norme d'une intégrale égale à l'intégrale de la norme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $f:[a,b]\to E$ continue. On suppose que $$\int_a^b \|f(t)\|dt=\left\|\int_a^b f(t)dt\right\|.$$ On note $u$ le vecteur unitaire de $E$ défini par $$u=\frac{\int_a^b f(t)dt}{\int_a^b \|f(t)\|dt}.$$ Pour tout $t\in [a,b]$, on décompose $f(t)$ dans la somme directe $\mathbb Ru\oplus^\perp(\mathbb Ru)^\perp$ sous la forme $f(t)=\alpha (t)u+v(t)$.
  1. Démontrer que $\alpha$ et $v$ sont continues sur $[a,b]$.
  2. Démontrer que $\int_a^b v(t)dt$ est orthogonal à $u$.
  3. Démontrer que $\int_a^b \alpha(t)dt=\int_a^b \|f(t)\|dt$.
  4. Démontrer que, pour tout $t\in [a,b]$, $\alpha(t)\leq \|f(t)\|$.
  5. En déduire que, pour tout $t\in [a,b]$, $f(t)=\|f(t)\|u$.
  6. Le résultat subsiste-t-il si on ne suppose pas que $E$ est euclidien?
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Théorème du relèvement [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $f\in\mathcal C^n(I,\mathbb C)$, où $I$ est un intervalle de $\mathbb R$, telle que $|f(t)|=1$ pour tout $t\in I$. On souhaite prouver l'existence de $\alpha\in\mathcal C^n(I,\mathbb R)$ telle que, pour tout $t\in I$, on ait $$f(t)=e^{i\alpha(t)}.$$
  1. Montrer que si $\alpha_1$ et $\alpha_2$ sont deux solutions du problème, alors il existe $k\in\mathbb Z$ tel que, pour tout $t\in I$, $\alpha_1(t)=\alpha_2(t)+k2\pi$.
  2. Soit $t_0\in I$ et $\alpha_0$ un argument de $f(t_0)$. En considérant $$\alpha(t)=\alpha_0+\frac 1i\int_{t_0}^t \frac{f'(x)}{f(x)}dx$$ démontrer que le problème admet bien une solution.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Inégalités de Kolmogorov [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to E$ de classe $\mathcal C^2$. On suppose que $f$ et $f''$ sont bornées.
  1. Soit $x\in\mathbb R$ et $h>0$. Démontrer que $$\|f'(x)\|\leq\frac{2\|f\|_\infty}h+\frac{h\|f''\|_\infty}2.$$
  2. En déduire que $$\|f'\|_\infty\leq 2\sqrt{\|f\|_\infty \|f''\|_\infty}.$$
Indication
Corrigé
Rappel sur la dérivation des fonctions à valeurs scalaires
Exercice 12 - Un problème de tangente [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que les courbes d'équation $y=x^2$ et $y=1/x$ admettent une unique tangente commune.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ $n$ fois dérivable.
  1. On suppose que $f$ s'annule en $(n+1)$ points distincts de $[a,b]$. Démontrer qu'il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f^{(n)}(c)=0$.
  2. On suppose que $f(a)=f'(a)=\dots=f^{(n-1)}(a)=f(b)=0$. Démontrer qu'il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f^{(n)}(c)=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Fonction $\mathcal C^\infty$ avec une infinité de zéros s'accumulant en $0$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ de classe $\mathcal C^\infty$ telle qu'il existe une suite $(x_n)_{n\geq 0}$ dans $]0,+\infty[$ telle que : $x_n\to 0$ quand $n\to+\infty$ et $f(x_n)=0$ pour tout $n\geq 0$. Démontrer que, pour tout $k\in\mathbb N,$ $f^{(k)}(0)=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mtr$, et $f$ une fonction dérivable sur $I$. On veut prouver que $f'$ vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.
  1. Pourquoi n'est-ce pas trivial?
  2. Soit $(a,b)\in I^2$, tel que $f'(a)<f'(b)$, et soit $z\in]f'(a),f'(b)[$. Montrer qu'il existe $\alpha>0$ tel que, pour tout réel $h\in]0,\alpha]$, on ait : $$\frac{1}{h}\left(f(a+h)-f(a)\right)<z<\frac{1}{h}\left(f(b+h)-f(b)\right).$$
  3. En déduire l'existence d'un réel $h>0$ et d'un point $y$ de $I$ tels que : $$y+h\in I \textrm{ et }\frac{1}{h}\left(f(y+h)-f(y)\right)=z.$$
  4. Montrer qu'il existe un point $x$ de $I$ tel que $z=f'(x)$.
  5. En déduire que $f'(I)$ est un intervalle.
  6. Soit $f$ la fonction définie sur $[0,1]$ par $f(x)=x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)$ si $x\in ]0,1]$ et par $f(0)=0.$ Montrer que $f$ est dérivable sur $[0,1]$. $f'$ est-elle continue sur $[0,1]$? Déterminer $f'([0,1])$. Qu'en concluez-vous?
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère $f:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0&\textrm{ si }x\leq 0\\ e^{-\frac{1}{x}}&\textrm{ si }x>0. \end{array} \right.$$
  1. Montrer que $f$ est $C^\infty$ sur $]0,+\infty[$ et que, pour tout $x>0$, on a $f^{(n)}(x)=e^{-\frac1x}P_n(1/x)$ où $P_n\in\mathbb R[X]$.
  2. Montrer que $f$ est $C^\infty$ sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Contrôle des dérivées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^\infty$ et $\lambda>0$ vérifiant : $$\left\{ \begin{array}{c} f^{(n)}(0)=0\textrm{ pour tout entier }n\geq 0\\ \sup_{\mathbb R}|f^{(n)}|\leq \lambda^nn! \end{array}\right.$$
  1. Montrer que $f=0$ sur l'intervalle $\left]-\frac1\lambda,\frac1\lambda\right[$.
  2. Montrer que $f=0$ sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la suite récurrente définie par $u_0\in \mathbb R^*$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in\mathbb N$, où $f$ la fonction définie par $f(x)=1+\frac 14\sin\frac 1x$.
  1. Déterminer $I=f(\mathbb R^*)$, et montrer que $I$ est stable par $f$.
  2. Démontrer qu'il existe $\gamma\in I$ tel que $f(\gamma)=\gamma$.
  3. Démontrer que, pour tout $x\in I$, $$|f'(x)|\leq\frac 49.$$
  4. Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\gamma$.
Indication
Corrigé
Rappels sur l'intégration des fonctions à valeurs scalaires
Exercice 19 - Toutes les intégrales sont nulles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue telle que, pour tout couple $(\alpha,\beta)\in[a,b]^2$, on a $\int_\alpha^\beta f(x)dx=0$. Montrer que $f= 0$.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Une drôle d'égalité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ réalisant une bijection de $[0,+\infty[$ sur $[0,+\infty[$.
  1. Justifier que $f$ est strictement croissante.
  2. Montrer que, pour tout $x\in\mathbb R^+$, on a $$xf(x)=\int_0^x f(t)dt+\int_{0}^{f(x)}f^{-1}(t)dt.$$
  3. En déduire que, pour tout $(x,y)\in[0,+\infty[^2$, on a $$xy\leq \int_0^x f(t)dt+\int_0^yf^{-1}(t)dt.$$ Dans quel cas a-t-on égalité?
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer la limite de $$v_n=\frac1n\prod_{k=1}^n (k+n)^{1/n}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Strictement croissante [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ strictement croissante telle que $f(0)=0$ et $f(1)=1$. Prouver que $\lim_{n\to+\infty}\int_0^1\big(f(t))^n dt=0.$
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Cesaro pour les intégrales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue admettant une limite finie $a$ en $+\infty$. Montrer que $$\frac 1x\int_0^x f(t)dt\to a\textrm{ quand }x\to+\infty.$$
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Logarithme intégral au carré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $I,J$ des intervalles de $\mathbb R$, soit $a\in I$, soit $h:I\to\mathbb R$ continue, $u,v:J\to I$ de classe $C^1$ et $$F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}h(t)dt.$$ Exprimer $F$ en fonction de $f:x\mapsto \int_a^x h(t)dt$. En déduire que $F$ est $C^1$ et calculer sa dérivée.
  2. On considère la fonction $F$ définie sur $J=]1,+\infty[$ par $$F(x)=\int_x^{x^2}\frac{dt}{(\ln t)^2}.$$ Étudier le sens de variation de $F$ sur $J$.
  3. En utilisant la décroissance de la fonction $t\mapsto \frac1{(\ln t)^2}$ sur $I=]1,+\infty[$, déterminer $\lim_{x\to+\infty}F(x)$.
  4. En utilisant l'inégalité $0<\ln t\leq t-1$ pour $t\in I$, déterminer $\lim_{x\to 1^+}F(x)$.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Intégration par parties - Niveau 3 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes : $$\mathbf{1.}\quad I=\int_1^2\frac{\ln(1+t)}{t^2}dt\quad \mathbf{2.}\quad J=\int_0^1 x(\arctan x)^2dx\quad\quad\mathbf{3.}\quad K=\int_0^1 \frac{x\ln x}{(x^2+1)^2}dx$$
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Changements de variables - Recherche de primitives - Niveau 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En effectuant un changement de variables, déterminer une primitive des fonctions suivantes :
  1. $\displaystyle x\mapsto \cos(2\ln x)$;
  2. $\displaystyle x\mapsto\cos(\sqrt x)$;
  3. $\displaystyle x\mapsto \frac{e^x}{(3+e^x)\sqrt{e^x-1}}$.
Indication
Corrigé
Dérivation et intégration des fonctions vectorielles