Math spé : Exercices sur les variables aléatoires discrètes
Calculs de lois, d'espérances, de variances
Enoncé
On lance une pièce de monnaie dont la probabilité de tomber sur pile vaut $p$.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de lancers nécessaires pour obtenir
$r$ fois pile. Quelle est la loi de $X$?
Enoncé
On joue à pile ou face avec une pièce non équilibrée. A chaque lancer, la probabilité d'obtenir pile est 2/3, et donc celle d'obtenir face est 1/3.
Les lancers sont supposés indépendants, et on note $X$ la variable aléatoire réelle égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir, pour la première fois, deux piles consécutifs.
Pour $n\geq 1$, on note $p_n$ la probabilité $P(X=n)$.
- Expliciter les événements $(X=2)$, $(X=3)$, $(X=4)$, et déterminer la valeur de $p_2$, $p_3$, $p_4$.
- Montrer que l'on a $p_n=\frac{2}{9}p_{n-2}+\frac{1}{3}p_{n-1}$, $n\geq 4$.
- En déduire l'expression de $p_n$ pour tout $n$.
- Rappeler, pour $q\in]-1,1[$, l'expression de $\sum_{n=0}^{+\infty}nq^n$, et calculer alors $E(X)$. Interpréter.
Enoncé
Soit $p\in]0,1[$. On dispose d'une pièce amenant "pile" avec la probabilité $p$. On lance cette pièce jusqu'à obtenir pour la deuxième fois "pile". Soit $X$ le nombre de "face" obtenus au cours de cette expérience.
- Déterminer la loi de $X$.
- Montrer que $X$ admet une espérance, et la calculer.
- On procède à l'expérience suivante : si $X$ prend la valeur $n$, on place $n+1$ boules numérotées de 0 à $n$ dans une urne, et on tire ensuite une boule de cette urne. On note alors $Y$ le numéro obtenu. Déterminer la loi de $Y$. Calculer l'espérance de $Y$.
- On pose $Z=X-Y$. Donner la loi de $Z$ et vérifier que $Z$ et $Y$ sont indépendantes.
Enoncé
Une rampe verticale de spots nommés de bas en haut $S_1,\ S_2,\ S_3,\ S_4$ change d'état de la manière suivante :
- à l'instant $t=0$, le spot $S_1$ est allumé.
- si, à l'instant $t=n,\ n\geq 0$, le spot $S_1$ est allumé, alors un (et un seul) des spots $S_1,\ S_2,\ S_3,\ S_4$ s'allume à l'instant $t=n+1$, et ceci de manière équiprobable.
- si, à l'instant $t=n,\ n\geq 0$, le spot $S_k$ ($2\leq k\leq 4$) est allumé, le spot $S_{k-1}$ s'allume à l'instant $t=n+1$.
- Écrire une fonction python $\verb+simulspot()+$ qui simule le fonctionnement de la variable aléatoire $X$.
- Calculer la probabilité pour que le spot $S_1$ reste constamment allumé jusqu'à l'instant $n$.
- Calculer la probabilité des événements $(X=1)$ et $(X=2)$.
- Calculer la probabilité des événements $(X=n)$, pour $n\geq 3$.
- Déterminer l'espérance de $X$.
Enoncé
Tous les jours, Rémi fait le trajet entre son domicile et son travail. Un jour sur deux, il dépasse la vitesse autorisée. Un jour sur dix, un contrôle radar est effectué. On suppose que ces deux événements (dépassement de la vitesse limite et contrôle radar) sont indépendants, et que leur survenue un jour donné ne dépend pas de ce qui se passe les autres jours. Si le radar enregistre son excès de vitesse, Rémi perd un point sur son permis de conduite. On note $X_i$ le nombre de points perdus le jour $i$.
- Question préliminaire : soit $x\in ]-1,1[$ et $r\in\mathbb N$. Justifier que $$\sum_{n\geq r}n(n-1)\cdots (n-r+1)x^{n-r}=\frac{r!}{(1-x)^{r+1}}.$$
- Pour tout $n\geq 1$, on note $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$. Que représente $S_n$? Donner sa loi, son espérance, sa variance.
- En tant que jeune conducteur, Rémi ne dispose que de 6 points sur son permis. On note $T$ le nombre de jours de validité de son permis dans le cas où celui-ci lui est retiré. Sinon, on définit $T=0$. Quelle est la loi de $T$? Son espérance?
Exercice 6 - Loi du nombre de boules blanches présentes à l'issue du $n$-ème tirage [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une urne contient deux boules blanches et une boule noire. On y effectue une succession de tirages de la façon suivante : on tire une boule ; si elle est noire, on la remet dans l'urne. Si elle est blanche, on remet dans l'urne, à la place de la boule blanche, une boule noire.
Pour tout $n\in\mathbb N^*,$ on note $Y_n$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches dans l'urne à l'issue du $n$-ème tirage. Ainsi, $Y_n$ prend ses valeurs dans $\{0,1,2\}.$
Pour tout $n\in\mathbb N^*,$ on note $Y_n$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches dans l'urne à l'issue du $n$-ème tirage. Ainsi, $Y_n$ prend ses valeurs dans $\{0,1,2\}.$
- Déterminer la loi de $Y_1$.
- Pour $n\in\mathbb N^*,$ calculer $P(Y_n=2).$
- On pose, pour $n\in\mathbb N^*,$ $u_n=P(Y_n=1)$. Calculer $u_1$ puis démontrer que, pour tout $n\geq 1,$ $u_{n+1}=\frac 23u_n+\frac2{3^{n+1}}.$
- En utilisant la suite $(v_n)$ définie par $v_n=u_n+\frac2{3^{n}}$ pour tout $n\in\mathbb N^*,$ donner la valeur de $u_n$ pour tout $n\in\mathbb N^*.$
- En déduire, pour tout $n\in\mathbb N^*,$ $P(Y_n=0)$ puis déterminer l'espérance de $Y_n.$
- On définit la variable aléatoire $Z$ égale à l'instant où, pour la première fois, l'urne ne contient plus que des boules noires. On convient que $Z=0$ si l'urne contient toujours au moins une boule noire. Déterminer la loi de $Z$, puis montrer que $Z$ admet une espérance et la déterminer.
Loi de Poisson
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson $\mathcal P(\lambda)$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\lambda$ pour que la suite $(P(X=k))$ soit décroissante.
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire réelle suivant une loi de Poisson $\mathcal P(\lambda)$.
Pour quelle(s) valeur(s) de $k\in\mathbb N$ la probabilité $P(X=k)$ est maximale?
Enoncé
Une région comporte 10 hôpitaux. Chaque hôpital peut réaliser 10 interventions chirurgicales d'urgence par jour,
et on admet que le nombre de personnes se présentant à un hôpital donné un certain jour suit une loi de Poisson de paramètre 8,
et que ce nombre est indépendant d'un hôpital à l'autre.
-
- On regarde un hôpital. Quelle est la probabilité qu'un jour donné celui-ci soit saturé?
- Quelle est la probabilité qu'au moins un des 10 hôpitaux soit saturé un jour donné?
- On suppose que quand un hôpital est saturé, il peut opérer un transfert de malades vers un autre hôpital. Quelle est la probabilité que le système hospitalier de la région soit saturé?
Exercice 10 - Retrouver une loi connaissant son conditionnement [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires. On suppose que $X$ suit une loi de Poisson $\mathcal P(\lambda)$ et que la loi de $Y$ conditionnée par $(X=n)$ est la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$, pour tout $n\in\mathbb N$. Quelle est la loi de $Y$?
Enoncé
On considère une entreprise de construction
produisant des objets sur deux chaines de montage $A$ et $B$ qui
fonctionnent indépendemment l'une de l'autre.
Pour une chaine donnée, les fabrications des pièces sont
indépendantes.
On suppose que $A$ produit $60\%$ des objets et $B$ produit $40\%$ des
objets. La probabilité qu'un objet construit par la chaine $A$ soit
défectueux est $0.1$ alors que la probabilité pour qu'un objet
construit par la chaine $B$ soit défectueux est $0.2$.
- On choisit au hasard un objet à la sortie de l'entreprise. On constate que cet objet est défectueux. Calculer la probabilité de l'événement "l'objet provient de la chaine A" .
- On suppose de plus que le nombre d'objets produits en une heure par $A
$ est une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi de Poisson de
paramètre $\lambda =20.$
On considère la variable aléatoire $X$ représentant le nombre
d'objets défectueux produits par la chaine $A$ en une heure.
- Rappeler la loi de $Y$ ainsi que la valeur de l'espérance et de la variance de $Y$.
- Soient $k$ et $n$ deux entiers naturels, déterminer la probabilité conditionnelle $P\left( X=k|Y=n\right) $. (On distinguera les cas $k\le n$ et $k>n$).
- En déduire, en utilisant le système complet d'événements $\left( Y=i\right) _{i\in \Bbb{N}},$ que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre 2 .
Enoncé
Un insecte pond des oeufs. Le nombre d'oeufs pondus est une variable aléatoire $X$ suivant une loi de Poisson $\mathcal P(\lambda)$.
Chaque oeuf a une probabilité $p$ d’éclore, indépendante
des autres oeufs. Soit $Z$ le nombre d’oeufs qui ont éclos.
- Pour $(k,n)\in\mathbb N^2$, calculer $P(Z=k|X=n)$.
- En déduire la loi de $Z$?
- Quelle est l'espérance de $Z$?
Enoncé
Pierre et Quentin jouent au jeu suivant. On tire un nombre entier naturel $X$ au hasard, et on suppose que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $a>0$. Si $X$ est impair, Pierre gagne et reçoit $X$ euros de Quention. Si $X$ est pair supérieur ou égal à 2, Quentin gagne et reçoit $X$ euros de Pierre. Si $X=0$, la partie est nulle.
On note $p$ la probabilité que Pierre gagne et $q$ la probabilité que Quentin gagne.
- En calculant $p+q$ et $p-q$, déterminer la valeur de $p$ et de $q$.
- Déterminer l'espérance des gains de chacun.
Loi géométrique
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre $p\in]0,1[$. Soit $a,b\in\mathbb N^*$. Étudier la convergence et éventuellement calculer la somme de la série
$$\sum_{n\geq 1}\frac{P(X\geq an)}{P(X\geq bn)}.$$
Exercice 15 - Variable aléatoire discrète sans mémoire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On dit qu'une variable aléatoire est sans mémoire si elle est à valeurs dans $\mathbb N^*$ et si
pour tous $k,n\in\mathbb N^*$, on a
$$P(X>k+n|X>n)=P(X>k).$$
- Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$.
- Pour tout $m\in\mathbb N$, calculer $P(X>m)$.
- En déduire que $X$ est sans mémoire. Interpréter ce résultat en termes d'épreuves de Bernoulli.
- Réciproquement, soit $X$ une variable aléatoire sans mémoire. On pose $q=P(X>1)$.
- Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, on a $P(X>n)=q^n$.
- En déduire que $X$ suit une loi géométrique de paramètre $p=1-q$.
Exercice 16 - Variable aléatoire géométrique supérieure à une variable aléatoire géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres respectifs $p$ et $q$. Calculer $P(Y>X)$.
Exercice 17 - Loi du minimum de deux variables géométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même espace de probabilité et suivant une loi géométrique de paramètre respectif $p_1$ et $p_2$. On pose $Z=\min(X,Y)$.
- Pour $n\in\mathbb N$, calculer $P(X>n)$.
- En déduire, pour $n\in\mathbb N,$ $P(Z>n)$.
- Déterminer la loi de $Z$.
Exercice 18 - Loi du max de deux lois géométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé, indépendantes, et suivant une loi géométrique de paramètre $p\in]0,1[$. On pose $q=1-p$ et $Z=\max(X,Y)$ et on se propose de déterminer de deux façons différentes la loi de $Z$.
- Méthode 1. On pose $T=\inf(X,Y)$.
- Pour $m,n\in\mathbb N^*$, déterminer $P((Z=m)\cap (T=n))$.
- En déduire la loi de $Z.$
- Méthode 2.
- Pour $m\in\mathbb N,$ calculer $P(X>m)$.
- Pour $m\in\mathbb N,$ calculer $P(Z>m)$.
- En déduire la loi de $Z.$
Enoncé
On suppose qu'à la naissance, la probabilité qu'un nouveau-né soit un garçon est égale à $1/2$. On suppose que
tous les couples ont des enfants jusqu'à obtenir un garçon. On souhaite évaluer la proportion de garçons dans une génération
de cette population. On note $X$ le nombre d'enfants d'un couple pris au hasard dans la population.
- Donner la loi de la variable aléatoire $X$.
- On suppose qu'une génération en âge de procréer est constituée de $N$ couples, et on note $X_1,\cdots,X_N$ le nombre d'enfants respectif de chaque couple. On note enfin $P$ la proportion de garçons issus de cette génération. Exprimer $P$ en fonction de $X_1,\dots,X_N$.
- Quelle est la limite de $P$ lorsque $N$ tend vers l'infini. Qu'en pensez-vous?
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire discrète, à valeurs dans $\mathbb N^*,$ vérifiant
$$\forall n\in\mathbb N^*,\ P(X\geq n)>0.$$
On appelle taux de panne associé à $X$ la suite réelle $(x_n)_{n\in\mathbb N^*}$ définie par, pour tout $n\in\mathbb N^*,$
$$x_n=P(X=n|X\geq n).$$
- Pour $n\in\mathbb N^*,$ on note $p_n=P(X=n).$ Démontrer que $$p_{n+1}=\frac{x_{n+1}}{x_n}(1-x_n)p_n.$$ En déduire une expression de $p_n$ en fonction des $x_k,$ $1\leq k\leq n.$
- Montrer que la variable aléatoire $X$ suit une loi géométrique si et seulement si son taux de panne est constant.
Enoncé
Le service de dépannage d'un grand magasin dispose d'équipes intervenant sur appel de la clientèle. Pour des causes diverses, les interventions ont parfois lieu avec retard. On admet que les appels se produisent indépendamment les uns des autres, et que, pour chaque appel, la probabilité d'un retard est de 0,25.
- Un client appelle le service à 4 reprises. On désigne par $X$ la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de fois où ce client
a dû subir un retard.
- Déterminer la loi de probabilité de $X$, son espérance, sa variance.
- Calculer la probabilité de l'événement : "Le client a au moins subi un retard".
- Le nombre d'appels reçus par jour est une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi de Poisson de paramètre $m$. On note $Z$ le nombre d'appels traités en retard.
- Exprimer la probabilité conditionnelle de $Z=k$ sachant que $Y=n$.
- En déduire la probabilité de $"Z=k\textrm{ et }Y=n"$.
- Déterminer la loi de $Z$. On trouvera que $Z$ suit une loi de Poisson de paramètre $m\times0,25$.
- En 2020, le standard a reçu une succession d'appels. On note $U$ le premier appel reçu en retard. Quelle est la loi de $U$? Quelle est son espérance?
Enoncé
On considère une suite de parties indépendantes de pile ou face, la probabilité d'obtenir "pile" à chaque partie étant égale à $p$, où $p\in]0,1[$. Si $n\geq 1$, on note $T_n$ le numéro de l'épreuve amenant le $n-$ième pile. Enfin, on
pose $A_1=T_1$ et $A_n=T_n-T_{n-1}$.
- Quelle est la loi de $T_1$? Donner la valeur de son espérance.
- Soit $n\geq 2$. Montrer que $A_1,\dots,A_n$ sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent une même loi.
Enoncé
On considère une urne contenant $n$ boules noires et $b$ boules blanches, avec $(n,b)\in\mathbb N^2$. Les boules sont supposées indiscernables au toucher. On notera $p=n/(n+b)$ et $q=1-p=b/(n+b)$. On effectue une suite infinie de tirages avec remise dans cette urne. Après chaque tirage, la boule piochée est remise dans l'urne. La composition de l'urne est donc identique pour tous les tirages.
On suppose qu'on dispose d'un espace probabilisé $(\Omega,P)$ permettant d'étudier cette expérience.
Pour $k\in\mathbb N^*$, on notera $N_k$ l'événement "obtenir une boule noire au $k$-ième tirage" et $B_k$ l'événement "obtenir une boule blanche au $k$-ième tirage".
On s'intéresse aux nombres de tirages successifs permettant d'obtenir deux changements de couleur dans les résultats. On obtient d'abord $i\in\mathbb N^*$ boules successives d'une même couleur, puis $j\in\mathbb N^*$ boules successives de l'autre couleur, puis une boule de la couleur initiale. La variable aléatoire $X$ désigne le nombre de boules de la même couleur apparues en début de tirage, la variable aléatoire $Y$ désigne le nombre de boules de la même couleur apparues en deuxième partie de tirage. Par exemple, l'événement $(X=4\cap Y=2)$ correspond à "obtenir successivement 4 boules noires, puis 2 blanches, puis 1 noire" ou à "obtenir successivement 4 boules blanches, puis 2 noires, puis 1 blanche".
Pour $k\in\mathbb N^*$, on notera $N_k$ l'événement "obtenir une boule noire au $k$-ième tirage" et $B_k$ l'événement "obtenir une boule blanche au $k$-ième tirage".
On s'intéresse aux nombres de tirages successifs permettant d'obtenir deux changements de couleur dans les résultats. On obtient d'abord $i\in\mathbb N^*$ boules successives d'une même couleur, puis $j\in\mathbb N^*$ boules successives de l'autre couleur, puis une boule de la couleur initiale. La variable aléatoire $X$ désigne le nombre de boules de la même couleur apparues en début de tirage, la variable aléatoire $Y$ désigne le nombre de boules de la même couleur apparues en deuxième partie de tirage. Par exemple, l'événement $(X=4\cap Y=2)$ correspond à "obtenir successivement 4 boules noires, puis 2 blanches, puis 1 noire" ou à "obtenir successivement 4 boules blanches, puis 2 noires, puis 1 blanche".
- Soit $i,j\in\mathbb N^*$. Déterminer $P(X=i\cap Y=j)$.
- En déduire la loi de $X$, puis la loi de $Y$.
- Montrer que $X$ admet une espérance, puis la calculer. Vérifier que $E(X)\geq 2$.
- Montrer que $Y$ admet une espérance, puis que $E(Y)=2$.
- Vérifier que pour tout $n\in\mathbb N^*$, on a $P(X=n\cap Y=n)=(pq)^n$, puis en déduire $P(X=Y)$.
- On note $S=X+Y$. Que vaut $S(\Omega)$? Déterminer la loi de $S$.
Enoncé
Un concierge rentre d'une soirée. Il dispose de $n$ clefs dont une seule ouvre la porte de son domicile,
mais il ne sait plus laquelle.
- Il essaie les clefs les unes après les autres en éliminant après chaque essai la clef qui n'a pas convenu. Trouver le nombre moyen d'essais nécessaires pour trouver la bonne clef.
- En réalité, la soirée était bien arrosée, et après chaque essai, le concierge remet la clef essayée dans le trousseau. Trouver le nombre moyen d'essais nécessaires pour trouver la bonne clef.
Couple de variables aléatoires
Enoncé
On considère une suite de lancers de pile ou face indépendants, la probabilité d'obtenir pile étant $p\in]0,1[$. On note $X$ (respectivement $Y$) le rang du premier (respectivement du deuxième) pile.
- Déterminer la loi du couple $(X,Y)$.
- En déduire la loi de $Y$.
Enoncé
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\mtn^*$, telles que :
$$P\big((X=i)\cap(Y=j)\big)=\frac{a}{2^{i+j}},$$
pour tous $i,j$ de $\mtn^*$.
- Calculer $a$.
- Déterminer les lois marginales de $X$ et $Y$.
- $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?
Enoncé
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$. On pose $Z=\min(X,Y)$ et $q=1-p$. Soit en outre $n$ un entier strictement positif.
- Calculer $P(X\geq n)$.
- Calculer $P(Z\geq n)$. En déduire $P(Z=n)$. Quelle est la loi de $Z$?
- Les variables $X$ et $Z$ sont-elles indépendantes?
Enoncé
On suppose que le nombre $N$ d'enfants dans une famille suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$. On suppose qu'à chaque naissance, la probabilité que l'enfant soit une fille est $p\in ]0,1[$ et celle que ce soit un garçon est $q=1-p$. On suppose aussi que les sexes des naissances successives sont indépendants. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de filles par familles, et $Y$ celle du nombre de garçons.
- Déterminer la loi conjointe du couple $(N,X)$.
- En déduire la loi de $X$ et celle de $Y$.
Inégalités, estimation
Enoncé
On jette $3600$ fois un dé équilibré à $6$ faces. Minorer la probabilité que le nombre d'apparitions du numéro $1$ soit compris entre $480$ et $720.$
Enoncé
Une usine fabrique des pièces dont une proportion inconnue $p$ est défectueuse, et on souhaite trouver une valeur approchée de $p$. On effectue un prélèvement de $n$ pièces. On suppose que le prélèvement se fait sur une population très grande, et donc qu'il peut s'apparenter à une suite de $n$ tirages indépendants avec remise. On note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses et on souhaite quantifier le fait que $X_n/n$ approche $p$.
- Quelle est la loi de $X_n$? Sa moyenne? Sa variance?
- Démontrer que, pour tout $\veps>0$, $P\left(\left|\frac{X_n}n-p\right|\geq\veps\right)\leq\frac 1{4n\veps^2}.$
- En déduire une condition sur $n$ pour que $X_n/n$ soit une valeur approchée de $p$ à $10^{-2}$ près avec une probabilité supérieure ou égale à $95\%$.
Exercice 31 - Majoration de probabilités et loi géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ un entier et $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique $\mathcal G(1/n)$.
- Montrer que $P(X\geq n^2)\leq \frac 1n$.
- Montrer que $P(|X-n|\geq n)\leq 1-\frac 1n$. En déduire que $P(X\geq 2n)\leq 1-\frac 1n$.
Exercice 32 - Une variante de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On suppose que $X$ admet une espérance $E(X)=m$ et une variance $V(X)=\sigma^2$. On fixe $\alpha>0$.
- Soit $\lambda\geq 0$. Démontrer que $P(X-m\geq \alpha)=P(X-m+\lambda\geq \alpha+\lambda)$.
- Vérifier que $E((X-m+\lambda)^2)=\sigma^2+\lambda^2$.
- Montrer que, pour tout $\lambda>0$, $P(X-m\geq\alpha)\leq\frac{\sigma^2+\lambda^2}{\alpha^2+\lambda^2+2\lambda \alpha}$.
- En déduire que $P(X-m\geq\alpha)\leq \frac{\sigma^2}{\alpha^2+\sigma^2}.$
- Démontrer que $P(|X-m|\geq \alpha)\leq \frac{2\sigma^2}{\alpha^2+\sigma^2}.$ Quand obtient-on une meilleure inégalité que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev?
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire réelle et $a>0$.
- Démontrer que, pour tout $t\geq 0$, $P\big(X-E(X)\geq a\big)\leq \frac{t^2+V(X)}{(a+t)^2}$.
- En déduire que $P\big(X-E(X)\geq a\big)\leq \frac{V(X)}{V(X)+a^2}.$
- Démontrer l'inégalité de Cantelli : $P\big(|X-E(X)|\geq a\big)\leq \frac{2V(X)}{V(X)+a^2}$. Comparer avec l'inégalité de Tchebychev.
Fonction génératrice
Exercice 34 - Quand a-t-on une loi discrète infinie? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que les réels $a$ et $k$ sont tels que la suite $(p_n)$ définie, pour $n\geq 0$, par $p_n=\left(\frac a{a+1}\right)^n k$ soit la loi de probabilité d'une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb N$. Donner alors la fonction génératrice d'une telle variable aléatoire.
Enoncé
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètre respectif $\lambda$ et $\mu$. Démontrer, à l'aide des fonctions génératrices, que $Z=X+Y$, suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda+\mu$.
Exercice 36 - Somme aléatoire de variables aléatoires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires discrètes à valeurs dans $\mathbb N,$ définies sur le même espace probabilisé $(\Omega,\mathcal T,P),$ de même loi, et soit $N$ une variable aléatoire définie sur $(\Omega,\mathcal T,P)$ à valeurs dans $\mathbb N$. On considère la variable aléatoire $S$ définie sur $\Omega$ par
$$S(\omega)=\sum_{k=1}^{N(\omega)}X_k(\omega).$$
- Montrer que $G_S=G_N\circ G_{X_1}$ sur $[0,1].$
- En déduire que si $N$ et $X_1$ sont d'espérance finie, alors $S$ est d'espérance finie et $E(S)=E(N)E(X_1).$
Exercices théoriques
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire prenant ses valeurs dans $\mathbb N^*$.
On suppose qu'il existe $p\in ]0,1[$ tel que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, $P(X=n)=pP(X\geq n)$.
Déterminer la loi de $X$.
Exercice 38 - Une autre expression de l'espérance [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mtn$.
- Montrer que, pour tout $n\in\mtn^*$, on a : $$\sum_{k=0}^{n}kP(X=k)=\sum_{k=0}^{n-1}P(X>k)-nP(X>n).$$
- On suppose que $\sum_{k=0}^{+\infty}P(X>k)$ converge. Démontrer que $X$ admet une espérance.
- Réciproquement, on suppose que $X$ admet une espérance. Démontrer alors que $\big(nP(X>n)\big)_n$ tend vers 0, puis que la série $\sum_{k=0}^{+\infty}P(X>k)$ converge, et enfin que $$E(X)=\sum_{k=0}^{+\infty}P(X>k).$$
- Application : on dispose d'une urne contenant $N$ boules indiscernables au toucher numérotées de $1$ à $N$.
On effectue, à partir de cette urne, $n$ tirages successifs d'une boule, avec remise, et on note $X$ le plus grand nombre obtenu.
- Que vaut $P(X\leq k)$? En déduire la loi de $X$.
- A l'aide des questions précédentes, donner la valeur de $E(X)$.
- A l'aide d'une somme de Riemann, démontrer que la suite $\left(\frac 1N\sum_{k=0}^{N-1}\left(\frac kN\right)^n\right)_N$ admet une limite (lorsque $N$ tend vers $+\infty$) que l'on déterminera.
- En déduire que $\lim_{N\to+\infty}\frac{E(X)}N=\frac{n}{n+1}.$
Variables aléatoires discrètes