Math spé : Exercices sur les suites et séries de fonctions
Enoncé
Soit $(f_n)$ une suite de fonctions qui converge simplement vers une fonction $f$ sur un intervalle $I$. Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses :
- Si les $f_n$ sont croissantes, alors $f$ aussi.
- Si les $f_n$ sont strictement croissantes, alors $f$ aussi.
- Si les $f_n$ sont périodiques de période $T$, alors $f$ aussi.
- Si les $f_n$ sont continues en $a$, alors $f$ aussi.
Convergence de suites de fonctions
Enoncé
Pour $x\geq 0$ et $n\geq 1$, on pose $f_n(x)=\frac{n}{1+n(1+x)}$.
- Démontrer que la suite de fonctions $(f_n)_{n\geq 1}$ converge simplement sur $[0,+\infty[$ vers une fonction $f$ que l'on précisera.
- Démontrer que la convergence est en réalité uniforme sur $[0,+\infty[$.
Exercice 3 - Étude de convergence simple et uniforme détaillée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x\in\mathbb R$, on pose $f_n(x)=1+x+\dots+x^{n-1}$.
- Étudier la convergence simple de la suite de fonctions $(f_n)$. On note $f(x)$ la limite de la suite $(f_n(x))$ lorsque cette limite existe.
- On pose, pour $x\in ]-1,1[$, $\varphi_n(x)=f(x)-f_n(x)$. Vérifier que $$\varphi_n(x)=\frac{x^n}{1-x}.$$ Quelle est la limite de $\varphi_n$ en $1$? En déduire que la convergence n'est pas uniforme sur $]-1,1[$.
- Soit $a\in ]0,1[$. Démontrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[-a,a]$.
Exercice 4 - Convergence uniforme sur un intervalle plus petit... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose, pour $n\geq 1$ et $x\in ]0,1]$, $f_n(x)=nx^n\ln(x)$ et $f_n(0)=0$.
- Démontrer que $(f_n)$ converge simplement sur $[0,1]$ vers une fonction $f$ que l'on précisera. On note ensuite $g=f-f_n$.
- Étudier les variations de $g$.
- En déduire que la convergence de $(f_n)$ vers $f$ n'est pas uniforme sur $[0,1]$.
- Soit $a\in [0,1[$. En remarquant qu'il existe $n_0\in\mathbb N$ tel que $e^{-1/n}\geq a$ pour tout $n\geq n_0$, démontrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,a]$.
Exercice 5 - Exemples de convergence uniforme, ou non! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier la convergence simple et la convergence uniforme des suites de fonctions $(f_n)$ suivantes :
- $f_n(x)=e^{-nx}\sin(2nx)$ sur $\mtr^+$ puis sur $[a,+\infty[$, avec $a>0$.
- $f_n(x)=\frac 1{(1+x^2)^n}$ sur $\mathbb R$, puis sur $[a,+\infty[$ avec $a>0$.
Enoncé
Soit $a\geq 0$. On définit la suite de fonctions $(f_n)$ sur $[0,1]$ par $f_n(x)=n^a x^n(1-x)$.
Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement vers 0 sur $[0,1]$, mais que la convergence est uniforme si et seulement si
$a<1.$
Enoncé
On pose $f_n:x\mapsto ne^{-n^2x^2}$. Étudier la convergence simple de $(f_n)$ sur $\mathbb R$.
Montrer la convergence uniforme sur $[a,+\infty[$, avec $a>0$. Étudier la convergence uniforme sur $]0,+\infty[$.
Exercice 8 - Convergence uniforme et dérivabilité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f_n:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par $f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac 1n}$. Démontrer que chaque $f_n$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R$ et que la suite de fonctions $(f_n)$ converge uniformément vers une fonction $f$. $f$ est-elle $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R$?
Enoncé
Soit $(f_n)$ la suite de fonctions définie sur $[0,1]$ par $f_n(x)=n^2x(1-nx)$ si $x\in [0,1/n]$ et $f_n(x)=0$ sinon.
- Étudier la limite simple de la suite $(f_n)$.
- Calculer $\int_0^1 f_n(t)dt$. Y-a-t-il convergence uniforme sur $[0,1]$?
- Étudier la convergence uniforme sur $[a,1]$ pour $a\in ]0,1]$.
Enoncé
Étudier la convergence simple et la convergence uniforme des suites de fonctions $(f_n)$ suivantes :
- $f_n(x)=\frac{\sin nx}{n\sqrt{x}}$ sur $\mtr_+^*$;
- $f_n(x)=(\sin x)^n \cos(x)$ sur $\mathbb R$.
- $f_n(x)=e^{\frac{(n-1)x}{n}}$ sur $\mathbb R$, puis sur $]-\infty,b]$ avec $b\in\mathbb R$.
Enoncé
On définit une suite de fonction $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ sur $[0,1]$ par $f_n(x)=\frac{x}{1+n^2x^2}$. Montrer que
- $(f_n)$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers une fonction dérivable $f$;
- $(f_n')$ converge simplement sur $[0,1]$ vers une fonction $g$;
- $f'\neq g$.
Enoncé
Etudier la convergence simple et la convergence uniforme de la suite $(f_n)$ de fonctions définies sur $\mtr_+$ par :
$$f_n(x)=\left(1-\frac{x}{n}\right)^n\textrm{ pour }x\in[0,n],\textrm{ et }0 \textrm{ ailleurs.}$$
Exercice 13 - Approximation polynomiale de la racine carrée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On définit une suite de fonctions $f_n:[0,1]\to\mathbb R$ par $f_0=0$ et, pour tout $n\in\mathbb N$ et
tout $x\in I=[0,1]$,
$$f_{n+1}(x)=f_n(x)+\frac12\left(x-(f_n(x))^2\right).$$
- Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement sur $I$ vers la fonction $x\mapsto \sqrt x$.
- Démontrer que, pour tout entier $n\geq 1$, $$0\leq \sqrt x-f_{n}(x)\leq\sqrt x\left(1-\frac{\sqrt x}{2}\right)^n.$$
- En déduire que la convergence est uniforme sur $I$.
Exercices théoriques
Exercice 14 - Convergence uniforme et fonctions bornées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(f_n)$ une suite de fonctions bornées, $f_n:\mathbb R\to\mathbb R$.
On suppose que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$. Montrer que $f$ est
bornée. Le résultat persiste-t-il si on suppose uniquement la convergence simple?
Exercice 15 - Convergence simple et fonctions décroissantes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(f_n)$ une suite de fonctions décroissantes définies sur $[0,1]$ telle que $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle. Montrer que la convergence est en fait uniforme.
Enoncé
Soient $(f_n)$ et $(g_n)$ deux suites de fonctions définies sur un même intervalle $I$ et à valeurs dans $\mathbb R$. On suppose que $(f_n)$ et $(g_n)$ convergent uniformément sur $I$ vers respectivement $f$ et $g$. On suppose de plus que $f$ et $g$ sont bornées. Démontrer que $(f_ng_n)$ converge uniformément vers $fg$.
Exercice 17 - Convergence uniforme et continuité uniforme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que la limite uniforme d'une suite de fonctions uniformément continues est elle-même uniformément continue.
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $\mathcal C^2$ telle que $f''$ est bornée. Démontrer que la suite de fonctions $(f_n)$ définie par $f_n(x)=n\big(f(x+1/n)-f(x)\big)$ converge uniformément vers $f'$.
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction et $(P_n)$ une suite de fonctions polynomiales convergeant uniformément vers $f$ sur $\mathbb R.$
- Justifier qu'il existe un entier $N$ tel que, pour tout $n\geq N$ et pour tout $x\in\mathbb R$, on ait $|P_n(x)-P_N(x)|\leq 1$.
- Que dire du polynôme $P_n-P_N$?
- En déduire que $f$ est nécessairement un polynôme.
Exercice 20 - Convergence uniforme des suites de fonctions convexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Soient $(\alpha,\beta)\in\mathbb R^2$ avec $\alpha<\beta$, $M\geq 0$ et $(f_n)_{n\geq 0}$ une suite de fonctions $M$-lipschitziennes de $[\alpha,\beta]$ dans $\mathbb R$. Montrer que si $(f_n)$ converge simplement vers une fonction $f$ sur $[\alpha,\beta]$, la convergence est en fait uniforme.
- Soient $]a,b[$ un intervalle ouvert, et $(f_n)$ une suite de fonctions convexes de $I$ dans $\mathbb R$ qui converge simplement vers $f$. Montrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur tout segment inclus dans $]a,b[$.
Exercice 21 - Une drôle d'équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On définit une suite $(u_n)$ de fonctions de $[0,1]$ dans $\mathbb R$ par
$u_0(x)=1$ et pour tout $n\geq 0$,
$$u_{n+1}(x)=1+\int_0^x u_n(t-t^2)dt.$$
- Montrer que, pour tout $x\in [0,1]$, $$|u_{n+1}(x)-u_n(x)|\leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}.$$
- En déduire la convergence simple de la suite $(u_n)$ sur $[0,1]$. On note $u$ sa limite.
- Démontrer que la suite $(u_n)$ converge uniformément vers $u$ sur $[0,1]$ et que $u$ n'est pas identiquement nulle.
- Démontrer que $u$ est solution de l'équation différentielle $u'(x)=u(x-x^2)$.
Divers modes de convergence des séries de fonctions
Enoncé
Pour $x\geq 0$, on pose $u_n(x)=\frac{x}{n^2+x^2}.$
- Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
- Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ converge uniformémement sur tout intervalle $[0,A]$, avec $A>0$.
- Vérifier que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, $\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{n}{n^2+k^2}\geq\frac 15$.
- En déduire que la série $\sum_{n\geq 1}u_n$ ne converge pas uniformément sur $\mathbb R_+$.
Enoncé
Pour $x\in I=[0,1]$, $a\in\mathbb R$ et $n\geq 1$, on pose $u_n(x)=n^a x^n(1-x)$.
- Étudier la convergence simple sur $I$ de la série de terme général $u_n$. On notera dans la suite $S$ la somme de la série.
- Étudier la convergence normale sur $I$ de la série de terme général $u_n$.
- On suppose dans cette question que $a=0$. Calculer $S$ sur $[0,1[$. En déduire que la convergence n'est pas uniforme sur $[0,1]$.
- On suppose $a>0$. Démontrer que la convergence n'est pas uniforme sur $I$.
Exercice 24 - Convergence uniforme, convergence normale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 1$ et $x\in\mathbb R$, on pose $u_n(x)=nx^2e^{-x\sqrt n}$.
- Démontrer que la série $\sum_n u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
- Démontrer que la convergence n'est pas normale sur $\mathbb R_+$.
- Démontrer que la convergence est normale sur tout intervalle $[a,+\infty[$ avec $a>0$.
- La convergence est-elle uniforme sur $\mathbb R_+$?
Enoncé
Soit $u_n(x)=(-1)^n\ln\left(1+\frac{x}{n(1+x)}\right)$ défini pour $x\geq 0$ et $n\geq 1$.
- Montrer que la série $\sum_{n\geq 1} u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
- Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}u_n$ converge uniformément sur $\mathbb R_+$.
- La convergence est-elle normale sur $\mathbb R_+$?
Enoncé
On considère la série de fonctions $\sum_{n\geq 2} u_n$, avec $u_n(x)=\frac{xe^{-nx}}{\ln n}$.
- Démontrer que $\sum_{n\geq 2}u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
- Démontrer que la convergence n'est pas normale sur $\mathbb R_+$.
- Pour $x\in\mathbb R_+$, on pose $R_n(x)=\sum_{k\geq n+1}u_k(x)$. Démontrer que, pour tout $x>0$, $$0\leq R_n(x)\leq \frac{xe^{-x}}{\ln (n+1) (1-e^{-x})},$$ et en déduire que la série converge uniformément sur $\mathbb R_+$.
Enoncé
Soit $g:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue et bornée telle que $g(0)=0$. On considère la suite de
fonctions définie sur $[0,+\infty[$ par $f_n(x)=g(x)e^{-nx}$.
-
- Étudier la convergence simple de la suite.
- Montrer que la suite converge uniformément sur tout intervalle $[a,+\infty[$, avec $a>0$.
- On fixe $\veps>0$. Montrer que l'on peut choisir $a>0$ tel que $|f_n(x)|\leq \veps$ pour tout $x\in[0,a]$ et pour tout $n\geq 1$. En déduire que la suite converge uniformément sur $[0,+\infty[$.
- On considère la série de fonctions $\sum_{n\geq 0}g(x)e^{-nx}$.
- Démontrer qu'elle converge simplement sur $[0,+\infty[$ et normalement sur tout intervalle $[a,+\infty[$ avec $a>0$.
- Démontrer l'équivalence entre les deux propositions suivantes :
- la courbe représentative de $g$ est tangente à l'axe des abscisses à l'origine;
- la série de fonctions $\sum_{n\geq 0}g(x)e^{-nx}$ converge uniformément sur $[0,+\infty[$.
Etude de fonctions définies comme la somme d'une série
Enoncé
On considère la série de fonctions $S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{x+n}$.
- Prouver que $S$ est définie sur $I=]-1,+\infty[$.
- Prouver que $S$ est continue sur $I$.
- Prouver que $S$ est dérivable sur $I$, calculer sa dérivée et en déduire que $S$ est croissante sur $I$.
- Quelle est la limite de $S$ en $-1$? en $+\infty$?
Enoncé
Pour $n\geq 1$ et $x\in\mathbb R,$ on pose $\displaystyle u_n(x)=\frac{1}{n^2+x^2}$.
- Démontrer que la série $\sum_{n\geq 1} u_n$ converge normalement sur $\mathbb R.$ On note $S$ sa somme.
- Démontrer que $S$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R$.
- Démontrer que $S$ admet une limite en $+\infty$ et la déterminer.
Enoncé
Pour $x>0$, on pose $\dis S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+nx}.$
- Justifier que $S$ est définie et continue sur $]0,+\infty[$.
- Déterminer la limite de $S$ en $+\infty$.
- Établir que $S$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ et déterminer $S'$.
Enoncé
Pour tout $t\in\mathbb R$, on pose $u_n(t)=\frac{\arctan(nt)}{n^2}$.
- Justifier que pour tout $t\in\mathbb R$, la série $\sum_{n\geq 1}u_n(t)$ est convergente. On note $S(t)$ sa somme.
- Démontrer que $S$ est une fonction continue sur $\mathbb R$ et impaire.
- Déterminer la limite de $S$ en $+\infty$ (on rappelle que $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac 1{n^2}=\frac{\pi^2}6$).
- Quel est le sens de variation de $S$?
- Soit $N\in\mathbb N$. Démontrer qu'il existe un réel $t_0>0$ tel que, pour tout $t\in ]-t_0,t_0[\backslash\{0\}$, on a $$\sum_{n=1}^N \frac{u_n(t)}t\geq \frac 12\sum_{n=1}^N\frac 1n.$$
- En déduire que la courbe représentative de $S$ admet une tangente verticale au point d'abscisse $0$.
- Tracer la courbe représentative de $S$.
Enoncé
On appelle fonction $\zeta$ de Riemann la fonction de la variable $s\in\mathbb R$ définie par la formule
$$\zeta(s)=\sum_{n\geq 1}\frac1{n^s}.$$
- Donner le domaine de définition de $\zeta$ et démontrer qu'elle est strictement décroissante sur celui-ci.
- Prouver que $\zeta$ est continue sur son domaine de définition.
- Déterminer $\lim_{s\to+\infty}\zeta(s)$.
- Montrer que pour tout entier $k\geq 1$ et tout $s>0$, on a $$\frac{1}{(k+1)^s}\leq\int_{k}^{k+1}\frac{dx}{x^s}\leq\frac1{k^s}.$$ En déduire que $\zeta(s)\sim_{1^+}\frac{1}{s-1}$.
- Démontrer que $\zeta$ est convexe.
- Tracer la courbe réprésentative de $\zeta$.
Enoncé
Pour $x\in \mathbb R$, on pose $u_n(x)=\frac{1}{n+n^2x}$.
- Étudier la convergence simple de la série $\sum_{n\geq 1} u_n(x)$. On note $S(x)$ sa somme.
- Démontrer que $S$ est définie et continue sur $\mathbb R_+^*$.
- Étudier la monotonie de $S$ sur $\mathbb R_+^*$.
- Déterminer la limite de $S$ en $+\infty$.
- Justifier que $S$ admet une limite en $0$. Démontrer que, pour tout entier $N$, on a $$\lim_{x\to 0}S(x)\geq\sum_{n=1}^N \frac{1}{n}.$$ En déduire la valeur de $\lim_{x\to 0}S(x)$.
Exercice 34 - Non-dérivabilité à droite d'une fonction limite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la série de fonctions $\sum_{n\geq 1}\frac{e^{-nt}}{1+n^2}$ et on note $f$ sa somme.
- Quel est le domaine de définition de $f$?
- Démontrer que $f$ est continue sur $\mathbb R^+$ et de classe $C^\infty$ sur $]0,+\infty[$.
- On fixe $A>0$.
- Justifier l'existence d'un entier $N\geq 1$ tel que $$\sum_{n=1}^N \frac{n}{1+n^2}\geq A.$$
- En déduire qu'il existe $\delta>0$ tel que, pour tout $h\in]0,\delta[$, $$\sum_{n=1}^N \frac{e^{-nh}-1}{h(1+n^2)}\leq -A+1.$$
- Démontrer que $f$ n'est pas dérivable en 0, mais que sa courbe représentative admet une tangente verticale au point d'abscisse 0.
- Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
Exercice 35 - Limite en $+\infty$ par comparaison à une intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit la série de fonctions $S(x)=\sum_{n\geq 1}\frac{x}{n^2+x^2}$.
- Démontrer que $S$ définit une fonction continue sur $\mathbb R$.
- Soit $x>0$ et $n\geq 1$. Justifier que $$\int_{n}^{n+1}\frac{x}{x^2+t^2}dt\leq \frac{x}{x^2+n^2}\leq\int_{n-1}^n \frac{x}{x^2+t^2}dt.$$
- En déduire que $S$ admet une limite en $+\infty$ et la déterminer.
Enoncé
Sur $I=]-1,+\infty[$, on pose
$$S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac 1n-\frac 1{n+x}\right).$$
- Montrer que $S$ est définie et continue sur $I$.
- Étudier la monotonie de $S$.
- Calculer $S(x+1)-S(x)$.
- Déterminer un équivalent de $S(x)$ en $-1^+$.
- Établir que, pour tout $n\in\mathbb N$, $S(n)=\sum_{k=1}^n \frac 1k$.
- En déduire un équivalent de $S(x)$ en $+\infty$.
Enoncé
Soit $(f_n)_{n\geqslant 1}$ la suite de fonctions
définies sur $[-1,1]$ par $f_n(t)=\dfrac{1}{n}\, t^n \, \sin nt.$
- Montrer que la série $\sum \, f_n$ converge simplement sur $]-1,1[$.
- Soit $a \in ]0,1[.$
- Montrer que la série $\sum \, f'_n$ converge normalement sur $[-a,a].$
- En déduire que la fonction $f=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \, f_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]-1,1[$ et montrer que, pour $x\in]-1,1[$, $$f'(x)=\frac{\sin x+x\cos x-x^2}{1-2x\cos x+x^2}.$$
- Montrer que $f(t)=\arctan \dfrac{t \, \sin t}{1- t \, \cos t}$ pour $t \in ]-1,1[.$
- On pose pour tout $n \in
\mathbb{N}^*$ et $t \in [-1,1]$, $A_n(t)=\displaystyle \sum_{k=1}^n \, t^k \, \sin k
\,t$.
- Montrer qu'il existe $M>0$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in [-1,1]$ on ait $|A_n(t)|\leqslant M.$
- Montrer en écrivant $t^k \, \sin (k \, t)=A_k(t)-A_{k-1}(t)$ que $$\sum_{k=1}^n \, \dfrac{t^k \, \sin k \, t}{k}=\sum_{k=1} ^{n-1} \, \dfrac{A_k(t)}{k(k+1)}+\dfrac{A_n(t)}{n}.$$
- En déduire que la série $\sum_n f_n$ converge simplement sur $[-1,1]$ et que $f(t)=\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{A_k(t)}{k(k+1)}$ sur $[-1,1]$. Montrer que $f$ est continue sur cet intervalle.
- En déduire les valeurs de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \, \frac{\sin n}{n}$ et de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \, \frac{(-1)^n \,\sin n}{n}.$
Enoncé
On considère la fonction $\displaystyle \mu(x)=\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^x}.$
- Quel est le domaine de définition de $\mu$?
- Montrer que $\mu$ est de classe $C^\infty$ sur son domaine de définition.
- Démontrer que $\mu$ admet une limite en $+\infty$ et la calculer.
- On souhaite démontrer que $\mu$ admet une limite en 0.
- Démontrer que, pour tout $x>0$, on a $$-1+2\mu(x)=\sum_{n\geq 1}(-1)^{n+1}\left(\frac1{n^x}-\frac{1}{(n+1)^x}\right).$$
- En déduire que pour tout $x>0$, on a $$0\leq -1+2\mu(x)\leq 1-\frac{1}{2^x}.$$
- Conclure.
Exercice 39 - Non-dérivabilité à droite d'une fonction limite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit la série de fonctions $\sum_{n\geq 2}f_n$, avec $\dis f_n(x)=\frac{xe^{-nx}}{\ln n}.$ On note $S$ sa somme.
- Etudier la convergence simple, normale, uniforme de cette série sur $[0,+\infty[$.
- Montrer que $S$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$.
- Montrer que $S$ n'est pas dérivable à droite en 0.
- Montrer que, pour tout $k$, $S(x)=o(x^{-k})$ en $+\infty$.
Applications des séries de fonctions
Exercice 40 - Application à la résolution d'une équation fonctionnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $C,a>0$ et $\phi:[-a,a]$ une fonction continue vérifiant $|\phi(x)|\leq C|x|$ pour tout $x\in[-a,a]$. On souhaite étudier les fonctions $f:[-a,a]\to\mathbb R$ vérifiant la propriété suivante (notée $\mathcal P$) : $f$ est continue, $f(0)=0$ et :
$$\forall x\in[-a,a],\ f(x)-f(x/2)=\phi(x).$$
- Montrer que la série de fonctions $\sum_{n\geq 0} \phi\left(\frac x{2^n}\right)$ est normalement convergente sur $[-a,a]$. On note $h$ la somme de cette série.
- Montrer que $h$ vérifie $\mathcal P$.
- Montrer que $h$ est la seule fonction vérifiant $\mathcal P$.
- On suppose de plus que $\phi$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $[-a,a]$. Démontrer que $h$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $[-a,a]$.
Exercice 41 - Résolution d'une équation intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On souhaite démontrer qu'il existe une fonction $f:[0,1]\to\mathbb R$ continue telle que, pour tout $x\in[0,1],$
$$f(x)=1+\frac 12\int_0^x f(t^2)dt.$$
Pour cela, on considère la suite de fonctions $(f_n)$ définies sur $[0,1]$ par $f_0=1$ et, pour tout $n\geq 0$ et tout $x\in[0,1]$,
$$f_{n+1}(x)=1+\frac 12\int_0^x f_n(t^2)dt.$$
- Démontrer que la série de fonctions $\sum_{n\geq 0}(f_{n+1}-f_n)$ converge normalement sur $[0,1]$.
- En déduire que la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers une fonction $f$.
- Justifier que $f$ est solution du problème.
Théorème de Weierstrass
Exercice 42 - Convergence uniforme d'une suite de polynômes avec contrainte [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue et $c\in[a,b]$. Démontrer qu'il
existe une suite $(P_n)_{n\in\mathbb N}$ de polynômes telle que $(P_n)_{n\in\mathbb N}$ converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]$ et $P_n(c)=f(c)$ pour tout $n\in\mathbb N$.
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue. On suppose que, pour tout $k\geq 0$, on a
$\int_a^b f(t) t^k dt=0$.
- Démontrer que $\int_a^b f^2(t)dt=0$.
- En déduire que $f$ est la fonction nulle.
Exercice 44 - Lemme de Riemann-Lebesgue pour les fonctions continues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $a<b$ deux nombres réels.
- Soit $f\in\mathcal C^1([a,b])$. Démontrer que $ \displaystyle \lim_{\lambda\to+\infty}\int_a^b f(t)e^{i\lambda t}dt=0.$
- Reprendre la question si on suppose uniquement que $f\in\mathcal C([a,b])$.
Exercice 45 - Théorème de Weierstrass avec des polynômes pairs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in\mathcal C([0,1],\mathbb R)$. Démontrer que $f$ est limite uniforme de polynômes pairs.