$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math spé : Exercices sur les polynômes d'endomorphismes

Polynôme annulateur
Exercice 1 - Diagonalisable avec un polynôme annulateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer toutes les matrices $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ diagonalisables telles que $A^3+2A=3I_n.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $M$ une matrice triangulaire par blocs $\left(\begin{array}{cc} A&C\\ 0&B \end{array}\right)$ avec $A\in\mathcal M_p(\mathbb K)$ et $B\in\mathcal M_q(\mathbb K)$. On suppose que $P$ est un polynôme annulateur de $A$ et que $Q$ est un polynôme annulateur de $B$. Déterminer un polynôme annulateur de $M$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Soit $P$ un polynôme annulateur de $u$. On suppose que $P=QR$, où $Q$ et $R$ sont premiers entre eux. Démontrer que $\textrm{Im}(R(u))=\ker(Q(u))$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Puissance d'une matrice et polynôme d'endomorphisme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $J\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ la matrice ne comportant que des $1$. Déterminer un polynôme annulateur pour $J$. En déduire la valeur de $J^k$ pour $k\geq 2$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Existence d'un polynôme annulateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel et $u\in\mathcal L(E)$. Existe-t-il toujours un polynôme annulateur de $u$ (autre que le polynôme nul)?
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Une autre réduction avec un polynôme annulateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in\mathcal L(\mathbb R^3)$ tel que $f^3+f=0.$
  1. Démontrer que $\ker(f)\oplus \textrm{Im}(f)=\mathbb R^3.$
  2. On suppose de plus que $f\neq 0.$ Démontrer qu'il existe une base $\mathcal B$ de $\mathbb R^3$ telle que la matrice de $f$ dans cette base est égale à $\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}.$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Polynôme annulateur, image et somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie et $f\in\mathcal L(E)$. On suppose que $f$ possède un polynôme annulateur $P$ vérifiant $P(0)=0$ et $P'(0)\neq 0$. Montrer qu'on a alors $\textrm{Im}(f)\oplus\ker(f)=E$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Polynômes annulateurs de $A$ et propriétés de $A$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$.
  1. Démontrer que si $\omega$ est une valeur propre de $A$ de multiplicité $s$, alors $\bar\omega$ est une valeur propre de $A$ de multiplicité $s$.
  2. On suppose que $A^3-3A-4I_n=0.$ Montrer que $A$ est de déterminant strictement positif.
  3. On suppose que $A^2+A+I_n=0$. Montrer que $n$ est pair.
  4. On suppose que $A^3+A^2+A=0$. Montrer que le rang de $A$ est pair.
  5. On suppose que $A^3+A^2+A=0$. Démontrer que $\textrm{Tr}(A)\in\mathbb Z^-$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Polynôme annulateur de degré 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et soit $f$ un endomorphisme de $E$. On suppose qu'il existe des réels $a,b$ et $c$ tels que $af^2+bf+c\textrm{Id}_E=0$, avec $a> 0$ et $\Delta=b^2-4ac>0$.
  1. Montrer que $f$ satisfait une relation de la forme $(f-\alpha\textrm{Id}_E)\circ(f-\beta \textrm{Id}_E)=0$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels tels que $\alpha>\beta$ que l'on précisera.
  2. Déterminer, en fonction de $a,b$ et $c$, deux réels $u$ et $v$ tels que $s=u(f+v\textrm{Id}_E)$ soit une symétrie.
  3. On pose $p=(s+\textrm{Id}_E)/2$ et $q=\textrm{Id}_E-p$.
    1. Vérifier que $p$ et $q$ sont des projections.
    2. Montrer la relation $f=\alpha p+\beta q$.
    3. En déduire une expression de $f^n$ pour $n\in\mathbb N$.
  4. On suppose $c\neq 0$.
    1. Démontrer que $f$ est inversible.
    2. Exprimer $f^{-1}$ en fonction de $p$ et $q$, $\alpha$ et $\beta$.
    3. En déduire une expression de $f^n$ pour $n\in\mathbb Z$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Endomorphisme sur un espace de matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ et soit $\phi_A$ l'endomorphisme de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ défini par $\phi_A(M)=AM$.
  1. Démontrer que $\phi_A=0$ si et seulement si $A=0$.
  2. Soit $P\in\mathbb R[X]$. Exprimer $P(\phi_A)$ en fonction de $P(A)$.
  3. En déduire que $\phi_A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est diagonalisable.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Diagonalisabilité et projections [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb C$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mathcal L(E)$.
  1. On suppose que $u$ est diagonalisable, et on note $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ ses valeurs propres. Justifier qu'il existe des projections $p_1,\dots,p_r$ de $E$ tels que, pour tout $k\geq 1$, $$u^k=\sum_{i=1}^r \lambda_i^k p_i.$$
  2. Réciproquement, on suppose qu'il existe $p_1,\dots,p_r\in\mathcal L(E)$ et $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ des complexes distincts tels que, pour tout $k\geq 1$, $$u^k=\sum_{i=1}^r \lambda_i^k p_i.$$ Démontrer que $u$ est diagonalisable.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Triangulaire supérieure par blocs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ telles que $AB=BA$. On pose $M=\left(\begin{array}{c|c} A&B\\ \hline 0&A \end{array}\right).$
  1. Pour $P\in\mathbb C[X],$ calculer $P(M).$
  2. En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur $A$ et $B$ pour que $M$ soit diagonalisable.
Indication
Corrigé
Polynôme caractéristique
Exercice 13 - Polynôme caractéristique d'une matrice compagnon [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $a_1,\dots,a_n\in\mathbb C^n$ et $$A=\begin{pmatrix}0&\dots&\dots&0&a_n\\ 1&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0&a_2\\ 0&\dots&\dots&1&a_1 \end{pmatrix}.$$ Calculer le polynôme caractéristique de $A.$
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Une propriété sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Démontrer qu'il existe $(a_{0},\ldots,a_{n-1})\in\mathbb C^{n}$ tel que : $$ \forall P \in\mathbb C_{n-1}[X],\quad P(X+n) + \sum_{k=0}^{n-1} a_{k}P(X+k)=0 $$
  2. Déterminer une telle famille.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Polynôme caractéristique de l'inverse [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in GL_n(\mathbb C)$. On note $P$ le polynôme caractéristique de $A$ et $Q$ celui de $A^{-1}$. Quelle relation a-t-on pour tout $\lambda\in\mathbb C^*$ entre $Q(\lambda)$ et $P(\lambda^{-1})$?
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Les puissances sont triangulaires supérieures [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ une matrice inversible. Démontrer que $A$ est triangulaire supérieure si et seulement si, pour tout $k\geq 2$, $A^k$ est triangulaire supérieure. Le résultat subsiste-t-il si on ne suppose plus que $A$ est inversible?
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Endomorphisme sur un espace vectoriel réel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mtr-$espace vectoriel $E$ de dimension finie. Montrer qu'il existe toujours une droite ou un plan de $E$ stable par $f$.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Une application étonnante du théorème de Cayley-Hamilton [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $a_1,\dots,a_n$ des nombres complexes vérifiant $$\sum_{k=1}^n a_k^p=0$$ pour tout $p>0.$ On souhaite prouver que tous les $a_i$ sont nuls. On note $D$ la matrice diagonale dont les coefficients sont $a_1,\dots,a_n.$
  1. Quelle est la trace de $D^p$, pour $p\geq 1$?
  2. En utilisant le théorème de Cayley-Hamilton, prouver que l'un des $a_i$ est nul.
  3. Conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Polynôme caractéristique de $AB$ et de $BA$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb K)$. On souhaite prouver que $\chi_{AB}=\chi_{BA}$.
  1. Démontrer le résultat si $A$ ou $B$ est inversible.
  2. Dans le cas général, on considère les matrices de $\mathcal M_{2n}(\mathbb K)$ $$M=\left(\begin{array}{cc} BA&-B\\ 0&0 \end{array}\right),\ N=\left(\begin{array}{cc} 0&-B\\ 0&AB \end{array}\right),\ P=\left(\begin{array}{cc} I_n&0\\ A&I_n \end{array}\right).$$ Vérifier que $PN=MP$ et conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Polynôme caractéristique de la comatrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mnr$. Calculer le polynôme caractéristique de la comatrice de $A$.
Indication
Corrigé
Polynôme minimal
Exercice 21 - Diagonalisation par polynôme minimal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $U$ la matrice $$U=\left(\begin{array}{cccc} 0&1&1&1\\ 1&0&1&1\\ 1&1&0&1\\ 1&1&1&0 \end{array}\right).$$
  1. Calculer $U^2$ et en déduire une relation simple liant $U^2$, $U$ et $I_4$.
  2. En déduire que $U$ est diagonalisable et donner ses valeurs propres.
  3. Diagonaliser $U$.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Polynôme minimal par reconstruction [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie, soit $u$ un endomorphisme de $E$ et soit $F,G$ deux sous-espaces de $E$ supplémentaires stables par $u$. On note $\pi_u$ le polynôme minimal de $u$, $\pi_F$ le polynôme minimal de $u_{|F}$ et $\pi_G$ le polynôme minimal de $u_{|G}$. Démontrer que $$\pi_u=\textrm{ppcm}(\pi_F,\pi_G).$$
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Racines du polynôme minimal et valeurs propres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $u$ un endomorphisme de $E$, $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie. Démontrer que les valeurs propres de $u$ sont exactement les racines du polynôme minimal de $u$.
Indication
Corrigé
Exercice 24 - $X^2+1$ est-il un polynôme minimal? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Existe-t-il dans $\mathcal M_n(\mathbb R)$ une matrice dont le polynôme minimal est $X^2+1$?
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Inversibilité d'un polynôme en $u$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie, et soit $\pi_u$ son polynôme minimal. Soit $P\in\mathbb K[X]$. Démontrer que $P(u)$ est inversible si et seulement si $P$ et $\pi_u$ sont premiers entre eux.
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Diagonalisable et carré diagonalisable? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in GL_n(\mathbb C)$ . Démontrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $A^2$ est diagonalisable. Le résultat subsiste-t-il si $A$ n'est pas inversible?
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Valeurs propres distinctes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et soit $f\in\mathcal L(E)$ diagonalisable. Démontrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
  1. Les valeurs propres de $f$ sont simples.
  2. Il existe $x\in E$ tel que $\{x,f(x),\dots,f^{n-1}(x)\}$ soit une base de $E$.
  3. La famille $\{Id,f,\dots,f^{n-1}\}$ est libre.
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Facteurs irréductibles du polynôme minimal et du polynôme caractéristique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb R^n$, on note $\pi_f$ (resp. $\chi_f$) son polynôme minimal (resp. son polynôme caractéristique). Montrer que $\pi_f$ et $\chi_f$ ont les mêmes facteurs irréductibles.
Corrigé
Endomorphismes nilpotents - Matrices nilpotentes
Exercice 29 - Une matrice sans racine carrée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 2$ et $A$ la matrice définie par $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ où $a_{i,i+1}=1$ pour $i=1,\dots,n-1$, les autres coefficients étant tous nuls.
  1. La matrice $A$ est-elle diagonalisable?
  2. Existe-t-il $B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ tel que $B^2=A$?
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Espace vectoriel engendré par les matrices nilpotentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$, $\mathcal N$ l'ensemble des matrices nilpotentes de $\mathcal M_n(\mathbb R)$, $V$ le sous-espace vectoriel engendré par $\mathcal N$, et $T_0$ le sous-espace de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ des matrices de trace nulle.
  1. Quelle est la dimension de $T_0$?
  2. Démontrer que $V\subset T_0$.
  3. Pour $j\in\{2,\dots,n\}$, on note $F_j=E_{1,1}+E_{1,j}-E_{j,1}-E_{j,j}$ et $G_j=F_j-E_{1,j}+E_{j,1}$. Calculer $F_j^2$. En déduire que $G_j\in V$.
  4. Soit $\mathcal F$ la famille d'éléments de $V$ constituée par les matrices $E_{i,j}$, $1\leq i,j\leq n$ avec $i\neq j$ et par les matrices $G_k$, $k=2,\dots,n$. Démontrer que $\mathcal F$ est une famille libre.
  5. En déduire que $V=T_0$.
Indication
Corrigé
Exercice 31 - Déterminant et matrices nilpotentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in GL_n(\mathbb C)$ et $N\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ nilpotente. On suppose que $AN=NA$. Démontrer que $\det(A+N)=\det(A)$.
Indication
Corrigé
Exercice 32 - Tout hyperplan de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ contient une matrice inversible [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $H$ un hyperplan de $\mathcal M_n(\mathbb K)$, $n\geq 2$. Le but de l'exercice est de démontrer que $H$ contient une matrice inversible. On raisonne par l'absurde et on suppose que $H$ ne contient pas de matrices inversibles.
  1. Démontrer que $H$ contient toutes les matrices nilpotentes.
  2. Conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 33 - Produit de matrices nilpotentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ telles que $AB=BA$ et $B$ est nilpotente. Prouver que si $A\neq 0$, alors $\textrm{rg}(BA)<\textrm{rg}(A)$.
  2. Soient $A_1,\dots,A_n\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ des matrices nilpotentes qui commutent. Prouver que $A_1\cdots A_n=0$. Le résultat subsiste-t-il si on ne suppose plus que les matrices commutent?
Indication
Corrigé
Exercice 34 - Matrices nilpotentes et trace des puissances [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Démontrer que $A$ est nilpotente si et seulement si, pour tout $p\geq 1$, on a $\textrm{Tr}(A^p)=0$.
Indication
Corrigé